ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 765 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что площади треугольников \(AMB\), \(BMC\) и \(AMC\) равны. Докажите, что \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\).

В треугольнике ABC: \(AF/CF = SABM/SBMC = 1\), откуда \(AF = CF\); \(BE/CE = SABM/SAMC = 1\), откуда \(BE = CE\).

Таким образом, AE и BF являются медианами треугольника ABC.

Решение:

В треугольнике ABC:
1. Согласно условию, стороны AB, BC и AC равны, то есть треугольник ABC является равносторонним.
2. Медианы равностороннего треугольника являются равными и делят противоположные стороны пополам.
3. Чтобы доказать, что AE и BF являются медианами, необходимо показать, что:
\(AF = \frac{1}{2}AB\) и \(BE = \frac{1}{2}AC\)
4. Используя свойства равностороннего треугольника, имеем:
\(\frac{AF}{CF} = \frac{SABM}{SBMC} = 1\), откуда \(AF = CF\)
5. Аналогично, \(\frac{BE}{CE} = \frac{SABM}{SAMC} = 1\), откуда \(BE = CE\)
6. Таким образом, AE и BF являются медианами треугольника ABC.