ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 767 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

В треугольнике AOB площадь равна \(S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot ON\), в треугольнике BOC площадь равна \(S_{BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot OF\), в треугольнике AOC площадь равна \(S_{AOC} = \frac{1}{2} AC \cdot OE\). Так как треугольник ABC равносторонний с длиной стороны a, то \(S_{ABC} = \frac{a}{2} (ON + OF + OE)\). Согласно условию, AO + BO + CO = AX + BX + CX, что и требовалось доказать.

Решение:

1) В треугольнике AOB:
Площадь треугольника AOB равна \(S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot ON\)

2) В треугольнике BOC:
Площадь треугольника BOC равна \(S_{BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot OF\)

3) В треугольнике AOC:
Площадь треугольника AOC равна \(S_{AOC} = \frac{1}{2} AC \cdot OE\)

4) Треугольник ABC является равносторонним, поэтому AB = BC = AC = a. Тогда:
\(S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOC}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot ON + \frac{1}{2} a \cdot OF + \frac{1}{2} a \cdot OE\)
\(S_{ABC} = \frac{a}{2} (ON + OF + OE)\)

Согласно условию, AO + BO + CO = AX + BX + CX. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей трех треугольников AOB, BOC и AOC. Следовательно, доказано, что AO + BO + CO = AX + BX + CX.