ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 768 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Найдите углы треугольника \(ABC\), если \(\angle AMB = 117^\circ\).

Решение:
1) ΔАВС — равнобедренный: AB = BC, ∠A = ∠C; ∠A + ∠B + ∠C = 180°; ∠B = 180° — 2∠A;
2) В треугольнике АВМ:
∠BAM = \(\frac{1}{2}\)∠A;
∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°;
\(\frac{1}{2}\)∠A + 180° — 2∠A + 117° = 180°;
3) ∠A = 117°, ∠Z = 78°;
∠B = 180° — 2 · 78° = 24°.
Ответ: 78°, 24°, 78°.

Решение:

1) Дано, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = BC и ∠A = ∠C. Также дано, что ∠AMB = 117°.

2) Для равнобедренного треугольника ABC справедливо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Поэтому ∠B = 180° — 2∠A.

3) Из треугольника ABM можно найти ∠BAM = 1/2∠A, так как треугольник ABM является равнобедренным.

4) Используя условие ∠AMB = 117°, можно найти ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°. Подставляя ∠BAM = 1/2∠A, получаем:
\(1/2∠A + ∠ABM + 117° = 180°\)
\(∠ABM = 180° — 117° — 1/2∠A = 63° — 1/2∠A\)

5) Так как треугольник ABC является равнобедренным, то ∠A = ∠C. Поэтому ∠B = 180° — 2∠A.

6) Подставляя ∠B = 180° — 2∠A в выражение для ∠ABM, получаем:
\(∠ABM = 63° — 1/2∠A = 63° — 1/2(180° — 2∠A) = 63° — 90° + ∠A = ∠A — 27°\)

7) Таким образом, ∠A = 117°, ∠B = 24°, ∠C = 78°.

Ответ: 78°, 24°, 78°.