ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 769 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобокой трапеции основания равны \(18 \text{ см}\) и \(12 \text{ см}\). Боковая сторона образует с основанием угол \(30^\circ\). Найдите диагональ трапеции.

Решение:
\(AH = \frac{1}{2}(AD — BC) = \frac{1}{2}(18 — 12) = 3\)
\(\tan \angle A = \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan \angle A = \frac{AH}{BH} \Rightarrow BH = \frac{AH}{\tan \angle A} = 3\sqrt{3}\)
\(DH = AD — AH = 18 — 3 = 15\), \(BD^2 = BH^2 + DH^2 = (3\sqrt{3})^2 + 15^2 = 3 + 225 = 228\), \(BD = \sqrt{228} = 2\sqrt{57}\)

Ответ: \(2\sqrt{57}\) см.

Решение:
Дано: трапеция ABCD, где AB = CD, BH — высота, AD = 18 см, BC = 12 см, угол BAD = 30°.
Найти: длину стороны BD.

1) Найдем длину отрезка AH:
В трапеции ABCD противоположные стороны AB и CD параллельны, значит, AH = (AD — BC) / 2
\(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{18 — 12}{2} = 3\) см

2) Найдем длину отрезка BH:
В прямоугольном треугольнике ABH:
\(\tan \angle A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\tan \angle A = \frac{AH}{BH} \Rightarrow BH = \frac{AH}{\tan \angle A} = \frac{3}{\sqrt{3}/3} = 3\sqrt{3}\) см

3) Найдем длину отрезка DH:
В прямоугольном треугольнике ABH:
\(DH = AD — AH = 18 — 3 = 15\) см

4) Найдем длину отрезка BD:
В прямоугольном треугольнике ABH:
\(BD^2 = BH^2 + DH^2 = (3\sqrt{3})^2 + 15^2 = 28 + 225 = 253\)
\(BD = \sqrt{253} = 2\sqrt{57}\) см

Ответ: \(2\sqrt{57}\) см.