ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 771 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На плоскости даны \(n\) точек (\(n > 3\)), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных \((n — 3)\) точек.

На плоскости даны \(n\) точек (\(n > 3\)), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассмотрим произвольный треугольник, концы которого лежат в трех данных точках. Если внутри него лежит какая-нибудь точка, то заменим одну из вершин треугольника на данную точку. Новый треугольник полностью лежит внутри прежнего треугольника, значит он содержит по крайней мере на одну точку меньше него. Повторяя этот процесс, мы можем построить треугольник, внутри которого нет ни одной из оставшихся \(n-3\) точек.

Рассмотрим решение данной задачи пошагово:

1) На плоскости даны n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Это означает, что любые три точки образуют треугольник.

2) Возьмем произвольный треугольник, концы которого лежат в трех данных точках.

3) Если внутри этого треугольника лежит какая-либо точка, то заменим одну из вершин треугольника на эту точку. Таким образом, мы получим новый треугольник, который полностью лежит внутри предыдущего.

4) Новый треугольник содержит на одну точку меньше, чем предыдущий.

5) Повторяя шаги 3-4, мы будем уменьшать количество точек внутри треугольника, пока не останется ни одной точки.

6) В итоге мы получим треугольник, вершины которого являются тремя из данных n точек, и внутри этого треугольника нет ни одной из оставшихся n-3 точек.

Таким образом, мы доказали, что на плоскости, содержащей n > 3 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, всегда можно построить треугольник, внутри которого нет ни одной из оставшихся точек.