ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 782 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной \(6 \text{ см}\) и \(12 \text{ см}\). Найдите площадь трапеции.

Решение:
1) В трапеции ABCD: \(AH = \frac{1}{2}(AD + BC) = EF\), \(EF = EO + OF = 18\), \(AH = EF = 18\), \(AD \parallel BC\), \(BC = 2EO = 12\), \(AD = 20F = 24\)
2) Для ВС и AD и секущей АС: \(\angle BCA = \angle DAC = \angle BAC\)
3) ΔABC равнобедренный: \(AB = BC = 12\)
4) В прямоугольном ΔDCH: \(DH = AD — AH = 6\), \(CD^2 = CH^2 + DH^2\), \(12^2 = CH^2 + 6^2\), \(144 = CH^2 + 36\), \(CH^2 = 108\), \(CH = 6\sqrt{3}\)
5) В трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH = \frac{1}{2}(24 + 12) \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\) см²
Ответ: \(108\sqrt{3}\) см².

Дано:
— Трапеция ABCD
— Высота трапеции CH
— Боковые стороны AC и BD
— Средняя линия EF

Требуется найти площадь трапеции ABCD.

Решение:

1) Находим высоту трапеции AH.
Согласно теореме о средней линии трапеции, средняя линия EF делит боковые стороны трапеции пропорционально, то есть:
\(AH = \frac{1}{2}(AD + BC) = EF\)
Где AD = 20F = 24 и BC = 2EO = 12, следовательно:
\(AH = \frac{1}{2}(24 + 12) = 18\)

2) Находим длину отрезка EF.
\(EF = EO + OF = 6 + 12 = 18\)

3) Трапеция ABCD является равнобедренной, так как AB = BC = 12.

4) Находим длину отрезка DH в прямоугольном треугольнике ADC.
Используя теорему Пифагора:
\(CD^2 = CH^2 + DH^2\)
\(12^2 = CH^2 + 6^2\)
\(144 = CH^2 + 36\)
\(CH^2 = 108\)
\(CH = 6\sqrt{3}\)
\(DH = AD — AH = 24 — 18 = 6\)

5) Вычисляем площадь трапеции ABCD.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC)CH\)
Подставляя известные значения:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(24 + 12)6\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\) см²

Ответ: \(108\sqrt{3}\) см².