ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 784 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны \(17 \text{ см}\) и \(25 \text{ см}\), а высота — \(15 \text{ см}\).

Ответ:
1) В трапеции ABCD: AD || BC;
2) Для ВС и AD и секущей АЕ: \(\angle BEA = \angle DAE = \angle BAE\);
3) Для ВС и AD и секущей DE: \(\angle CED = \angle DAE = \angle CDE\);
4) ΔABE равнобедренный: BE = AB = 25;
5) ΔDCE равнобедренный: CE = CD = 17;
6) В прямоугольнике BCGH: BC = BE + CE = 42; HG = BC = 42;
7) В прямоугольном ΔABH: \(AB^2 = BH^2 + AH^2\); \(25^2 = 15^2 + AH^2\); \(625 = 225 + AH^2\); \(AH^2 = 400\), AH = 20;
8) В прямоугольном ΔDCG: \(CD^2 = CG^2 + DG^2\); \(17^2 = 15^2 + DG^2\); \(289 = 225 + DG^2\); \(DG^2 = 64\), DG = 8;
9) В трапеции ABCD: AD = AH + HG + DG = 70;
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH = \frac{1}{2}(70 + 42) \cdot 15 = 840\)

Ответ: 840 см².

Дано: трапеция ABCD, где ABCD — трапеция; BH, CG — высоты; АЕ — биссектриса угла LAD; DE — биссектриса угла LDC; AB = 25 см; CD = 17 см; BH = CG = 15 см.

Необходимо найти площадь трапеции SABCD.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABE. Так как АЕ является биссектрисой угла LAD, то \(\angle BAE = \angle DAE\). Следовательно, треугольник ABE является равнобедренным, и BE = AB = 25 см.

2) Рассмотрим треугольник DCE. Так как DE является биссектрисой угла LDC, то \(\angle CDE = \angle CED\). Следовательно, треугольник DCE также является равнобедренным, и CE = CD = 17 см.

3) Так как ABCD — трапеция, то AD || BC. Следовательно, \(\angle BAE = \angle DCE\).

4) В прямоугольнике BCGH, BC = BE + CE = 25 + 17 = 42 см, и HG = BC = 42 см.

5) В прямоугольном треугольнике ABH, \(AB^2 = BH^2 + AH^2\). Подставляя известные значения, получаем: \(25^2 = 15^2 + AH^2\), \(AH^2 = 400\), \(AH = 20\) см.

6) В прямоугольном треугольнике DCG, \(CD^2 = CG^2 + DG^2\). Подставляя известные значения, получаем: \(17^2 = 15^2 + DG^2\), \(DG^2 = 64\), \(DG = 8\) см.

7) Высота трапеции AD = AH + HG + DG = 20 + 42 + 8 = 70 см.

8) Используя формулу площади трапеции \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где a = AD = 70 см, b = BC = 42 см, h = BH = 15 см, получаем:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(70 + 42) \cdot 15 = 840\) см².

Ответ: площадь трапеции SABCD = 840 см².