ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 785 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны \(10 \text{ см}\) и \(17 \text{ см}\), а высота — \(8 \text{ см}\).

Ответ:

1) В трапеции ABCD: AD || BC;
2) Для ВС и AD и секущей ВЕ: \(\angle AEB = \angle CBE = \angle ABE\);
3) Для ВС и AD и секущей СЕ: \(\angle DEC = \angle BCE = \angle DCE\);
4) \(\triangle ABE\) равнобедренный; AE = AB = 10;
5) \(\triangle ADCE\) равнобедренный: DE = CD = 17;
6) В прямоугольном \(\triangle ABH\): \(AB^2 = BH^2 + AH^2\); \(10^2 = 8^2 + AH^2\); \(100 = 64 + AH^2\); \(AH^2 = 36, AH = 6\);
7) В прямоугольном \(\triangle ADC\): \(CD^2 = CG^2 + DG^2\); \(17^2 = 8^2 + DG^2\); \(289 = 64 + DG^2\); \(DG^2 = 225, DG = 15\);
8) В прямоугольнике BCGH AD = AE + DE = 27; HG = AD — AH — DG = 6; BC = HG = 6;
9) В трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH\); \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(27 + 6) \cdot 8 = 132\).

Ответ: 132 см².

Решение:

Дано: трапеция ABCD, где AB = 10 см, CD = 17 см, BH = CG = 8 см. Требуется найти площадь трапеции.

Для решения задачи будем использовать следующие шаги:

1) Найдем длину отрезка AD. Так как AD || BC, то \(AD = \frac{AB + CD}{2} = \frac{10 + 17}{2} = 13.5\) см.

2) Найдем длину отрезка AE. Так как \(\triangle ABE\) равнобедренный, то \(AE = AB = 10\) см.

3) Найдем длину отрезка DE. Так как \(\triangle ADCE\) равнобедренный, то \(DE = CD = 17\) см.

4) Найдем длину отрезка HG. Так как \(\triangle ABH\) прямоугольный, то \(AH^2 = AB^2 — BH^2 = 10^2 — 8^2 = 36\), следовательно, \(AH = 6\) см. Аналогично, \(\triangle ADC\) прямоугольный, значит, \(DG^2 = CD^2 — CG^2 = 17^2 — 8^2 = 225\), откуда \(DG = 15\) см. Тогда \(HG = AD — AH — DG = 13.5 — 6 — 15 = 2.5\) см.

5) Найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2}(AB + CD)h\), где h — высота трапеции. В данном случае \(h = BH = 8\) см, а \(AB + CD = 10 + 17 = 27\) см. Таким образом, \(S = \frac{1}{2}(27) \cdot 8 = 108\) см².

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 132 см².