ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 786 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции равна \(20 / 3 \text{ см}\) и образует с основанием угол \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность.

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, описанная около окружности, \(BH\) — высота, \(AB = CD = 20\sqrt{3}\) см, \(\angle BAD = 60^\circ\). Найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

Решение:
1) В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(BC + AD = AB + CD = 2AB = 40\sqrt{3}\).
2) В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(\sin \angle BAD = \frac{BH}{AB}\), откуда \(BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\) см.
3) Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{40\sqrt{3}}{2} \cdot 30 = 600\sqrt{3}\) см\(^2\).

Ответ: \(600\sqrt{3}\) см\(^2\).

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, описанная около окружности, \(BH\) — высота, \(AB = CD = 20\sqrt{3}\) см, \(\angle BAD = 60^\circ\). Требуется найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

Шаг 1: Используем свойство описанной трапеции
В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции \(ABCD\) это означает:
\(AB + CD = AD + BC\).
Поскольку \(AB = CD = 20\sqrt{3}\), получаем:
\(AD + BC = 2 \cdot 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3}\).

Шаг 2: Находим высоту \(BH\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\), где:
— \(\angle BAH = 60^\circ\) (по условию),
— \(AB = 20\sqrt{3}\) (гипотенуза).
Используем определение синуса:
\(\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}\).
Подставляем значения:
\(\sin(60^\circ) = \frac{BH}{20\sqrt{3}}\).
Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{20\sqrt{3}}\).
Отсюда:
\(BH = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30\) см.

Шаг 3: Вычисляем площадь трапеции
Формула площади трапеции:
\(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH\).
Подставляем известные значения:
\(S_{ABCD} = \frac{40\sqrt{3}}{2} \cdot 30 = 20\sqrt{3} \cdot 30 = 600\sqrt{3}\) см\(^2\).

Проверка:
Ответ совпадает с приведённым в примере: \(600\sqrt{3}\) см\(^2\).

Дополнительные пояснения:
1. Равнобедренность трапеции (\(AB = CD\)) гарантирует симметрию, что упрощает расчёты.
2. Угол \(\angle BAD = 60^\circ\) выбран для удобства вычислений, так как \(\sin(60^\circ)\) и \(\cos(60^\circ)\) — табличные значения.
3. Окружность, вписанная в трапецию, позволяет использовать ключевое свойство сумм сторон, что критично для нахождения \(AD + BC\).

Итог:
Площадь трапеции \(S_{ABCD} = 600\sqrt{3}\) см\(^2\).