ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 787 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Основания равнобокой трапеции равны \(32 \text{ см}\) и \(50 \text{ см}\). Чему равна площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность?

Краткий ответ:

Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(ABCD\) — описанная; \(ВН\) — высота; \(ВС = 32\) см; \(AD = 50\) см; \(AB = CD\);
Найти: \(S_{ABCD}\);

Решение:
1) В трапеции \(ABCD\):
\(AH = \frac{AD — BC}{2}\);
\(AH = \frac{50 — 32}{2} = 9\);
\(AB + CD = BC + AD\);
\(AB + AB = 32 + 50\);
\(2AB = 82\), \(AB = 41\);

2) В прямоугольном \(\triangle АВН\):
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\);
\(41^2 = 9^2 + BH^2\);
\(1681 = 81 + BH^2\);
\(BH^2 = 1600\), \(BH = 40\);

3) В трапеции \(ABCD\):
\(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH\);
\(S_{ABCD} = \frac{50 + 32}{2} \cdot 40 = 1640\);

Ответ: \(1640\).

Подробный ответ:

Дано: \(ABCD\) — трапеция, описанная около окружности; \(BH\) — высота; \(BC = 32\) см; \(AD = 50\) см; \(AB = CD\). Требуется найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

В описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований: \(AB + CD = BC + AD\). Поскольку \(AB = CD\), получаем \(2AB = 32 + 50 = 82\), откуда \(AB = 41\) см.

Проведём высоту \(BH\) к основанию \(AD\). Так как трапеция равнобедренная, отрезок \(AH\) вычисляется как \(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{50 — 32}{2} = 9\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABH\) по теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). Подставляем значения: \(41^2 = 9^2 + BH^2\), \(1681 = 81 + BH^2\), откуда \(BH^2 = 1600\) и \(BH = 40\) см.

Площадь трапеции находим по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{50 + 32}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 40 = 1640\) см\(^2\).

Ответ: \(1640\) см\(^2\).

Оцени решение