ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 788 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна \(8 \text{ см}\), а острый угол — \(45^\circ\). Найдите площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность.

1) В прямоугольнике \(АВСН\): \(CH = AB = 8\), \(AH = BC\);

2) В прямоугольном \(ADCH\): \(LC = 90° — 2D = 45°\); \(DH = CH = 8\); \(CD^2 = CH^2 + DH^2\); \(CD^2 = 8^2 + 8^2\);
3) В трапеции \(ABCD\): \(AD = AH + DH = BC + 8\); \(AD + BC = AB + CD\); \(BC + 8 + BC = 8 + 8\sqrt{2}\); \(2BC = 8\sqrt{2}\), \(BC = 4\sqrt{2}\); \(AD = 4\sqrt{2} + 8\);
4) \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH\); \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(8\sqrt{2} + 8) \cdot 8\); \(S_{ABCD} = 32\sqrt{2} + 32\);
Ответ: \(32\sqrt{2} + 32\) см\(^2\).

Дано: \(ABCD\) — трапеция, описанная около окружности; \(CH\) — высота; \(\angle A = \angle B = 90^\circ\); \(AB = 8\) см; \(\angle D = 45^\circ\).

В прямоугольнике \(ABCH\):
\(CH = AB = 8\) см (так как \(ABCH\) — прямоугольник),
\(AH = BC\) (противоположные стороны равны).

В прямоугольном треугольнике \(DCH\):
\(\angle C = 90^\circ — \angle D = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\),
\(\triangle DCH\) — равнобедренный, поэтому \(DH = CH = 8\) см.
По теореме Пифагора:
\(CD^2 = CH^2 + DH^2 = 8^2 + 8^2 = 128\),
\(CD = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\) см.

Для описанной трапеции \(ABCD\) выполняется свойство:
\(AD + BC = AB + CD\).
Учитывая, что \(AD = AH + DH = BC + 8\), подставляем:
\(BC + 8 + BC = 8 + 8\sqrt{2}\),
\(2BC = 8\sqrt{2}\),
\(BC = 4\sqrt{2}\) см,
\(AD = BC + 8 = 4\sqrt{2} + 8\) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH = \frac{1}{2}(8\sqrt{2} + 8) \cdot 8 = 32\sqrt{2} + 32\) см\(^2\).

Ответ: \(32\sqrt{2} + 32\) см\(^2\).