ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 789 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна \(28 \text{ см}\), а острый угол — \(30^\circ\). Найдите площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность.

1) В прямоугольнике АВСН: \( AH = BC \), \( AB = CH \);

2) В прямоугольном \( \triangle DCH \): \( \angle D = 30^\circ \), \( CH = \frac{1}{2} CD = 14 \); \( \cos \angle D = \frac{DH}{CD} \), \( DH = CD \cdot \cos \angle D = 14\sqrt{3} \);
3) В трапеции \( ABCD \): \( AD = AH + DH = BC + 14\sqrt{3} \); \( AD + BC = AB + CD \); \( BC + 14\sqrt{3} + BC = 14 + 28 \); \( 2BC = 42 — 14\sqrt{3} \), \( BC = 21 — 7\sqrt{3} \); \( AD = 21 — 7\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 21 + 7\sqrt{3} \);
4) \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot CH \); \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 14 = 294 \);
Ответ: \( 294 \) см\(^2\).

Дано: \( ABCD \) — трапеция, \( ABCD \) — описанная, \( CH \) — высота, \( \angle A = \angle B = 90^\circ \), \( CD = 28 \) см, \( \angle D = 30^\circ \). Найти площадь \( S_{ABCD} \).

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольник \( ABCH \). В нём \( AH = BC \) (противоположные стороны прямоугольника равны), а \( AB = CH \) (также противоположные стороны).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \( DCH \). В нём \( \angle D = 30^\circ \), а катет \( CH \), лежащий напротив угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы \( CD \), то есть \( CH = \frac{1}{2} CD = 14 \) см. Далее, используя определение косинуса:
\( \cos \angle D = \frac{DH}{CD} \), откуда \( DH = CD \cdot \cos \angle D = 28 \cdot \cos 30^\circ = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \) см.

3) В трапеции \( ABCD \) выполняется свойство описанной четырёхугольника: сумма длин противоположных сторон равна. То есть:
\( AD + BC = AB + CD \).
Но \( AB = CH = 14 \) см, а \( CD = 28 \) см, поэтому:
\( AD + BC = 14 + 28 = 42 \) см.

4) Выразим \( AD \) через \( BC \). Поскольку \( AD = AH + DH \), а \( AH = BC \), то:
\( AD = BC + 14\sqrt{3} \).
Подставим это в уравнение из пункта 3:
\( BC + 14\sqrt{3} + BC = 42 \),
\( 2BC = 42 — 14\sqrt{3} \),
\( BC = 21 — 7\sqrt{3} \) см.
Тогда \( AD = 21 — 7\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 21 + 7\sqrt{3} \) см.

5) Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot CH \).
Подставляем известные значения:
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (21 + 7\sqrt{3} + 21 — 7\sqrt{3}) \cdot 14 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 14 = 294 \) см\(^2\).

Ответ: \( 294 \) см\(^2\).