ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 79 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) существует такая точка \(M\), что \(BM = MD = CD\). Найдите углы параллелограмма, если \(AD = BD\)

Краткий ответ:

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle A = \angle C\), \(\overline{B} = \overline{D}\);
2) В равнобедренном треугольнике CDM: \(\angle DCM = \angle CDM = \angle A\);
3) В равнобедренном треугольнике ABM: \(\angle BMD = \angle AMD = \frac{1}{2}\angle A\);
4) В равнобедренном треугольнике ADB: \(\angle ADB = \angle DAB = \angle A\);
5) В параллелограмме ABCD: \(\angle B = \angle DBA + \angle CBD\), \(\angle B = \angle A + \frac{1}{2}\angle A = \frac{3}{2}\angle A\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), \(\angle A + \frac{3}{2}\angle A = 180^\circ\), \(\frac{5}{2}\angle A = 180^\circ\), \(\angle A = 72^\circ\), \(\angle B = 108^\circ\).

Ответ: 72°, 108°.

Подробный ответ:

Дано: параллелограмм ABCD, где \(\overline{BM} = \overline{MD} = \overline{CD}\) и \(\overline{AD} = \overline{BD}\). Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\).

Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны, а противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

2) Рассмотрим треугольник CDM. Так как \(\overline{BM} = \overline{MD}\), то треугольник CDM является равнобедренным. Следовательно, \(\angle DCM = \angle CDM = \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = \frac{1}{2}(180^\circ — \angle A — \angle B) = \frac{1}{2}(180^\circ -\)
\(- \angle A — (180^\circ — \angle A)) = \frac{1}{2}\angle A\).

3) Рассмотрим треугольник ABM. Так как \(\overline{BM} = \overline{MD}\), то треугольник ABM также является равнобедренным. Следовательно, \(\angle BMD = \angle AMD = \frac{1}{2}\angle A\).

4) Рассмотрим треугольник ADB. Так как \(\overline{AD} = \overline{BD}\), то треугольник ADB является равнобедренным. Следовательно, \(\angle ADB = \angle DAB = \angle A\).

5) Так как ABCD — параллелограмм, то \(\angle B = \angle DBA + \angle CBD\). Подставляя найденные ранее значения углов, получаем: \(\angle B = \angle A + \frac{1}{2}\angle A = \frac{3}{2}\angle A\). Так как сумма углов в параллелограмме равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), или \(\angle A + \frac{3}{2}\angle A = 180^\circ\), откуда \(\angle A = 72^\circ\) и \(\angle B = 108^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 72^\circ\), \(\angle B = 108^\circ\), \(\angle C = 72^\circ\), \(\angle D = 108^\circ\).

Оцени решение