ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 790 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает ее основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

1) В трапеции \(ABCD\): \(BH = CG\), \(EF \parallel AD \parallel BC\); \(AE = BE\), \(CF = DF\);

2) В трапеции \(ABMN\): \(EO \parallel AN \parallel BM\), \(AE = BE\); \(EO\) — средняя линия; \(S_{ABMN} = EO \cdot BH\);

3) В трапеции \(DCMN\): \(FO \parallel DN \parallel CM\), \(CF = DF\); \(FO\) — средняя линия; \(S_{DCMN} = FO \cdot CG = S_{ABMN}\); Что и требовалось доказать.

Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(BH\), \(CG\) — высоты; \(EF\) — средняя линия; \(EO = FO\). Доказать: \(S_{ABMN} = S_{DCMN}\).

Решение:

1) Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). По условию \(BH\) и \(CG\) — высоты, следовательно \(BH = CG\) (так как высоты в трапеции между параллельными сторонами равны). Средняя линия \(EF\) параллельна основаниям \(AD\) и \(BC\) и делит боковые стороны пополам: \(AE = BE\) и \(CF = DF\).

2) Рассмотрим трапецию \(ABMN\), где \(M\) и \(N\) — точки пересечения продолжений боковых сторон. Поскольку \(EO \parallel AN \parallel BM\) и \(AE = BE\), отрезок \(EO\) является средней линией трапеции \(ABMN\). Площадь трапеции \(ABMN\) вычисляется по формуле: \(S_{ABMN} = EO \cdot BH\), где \(BH\) — высота.

3) Аналогично, в трапеции \(DCMN\) имеем \(FO \parallel DN \parallel CM\) и \(CF = DF\), поэтому \(FO\) — средняя линия. Площадь этой трапеции: \(S_{DCMN} = FO \cdot CG\). По условию \(EO = FO\) и \(BH = CG\), следовательно \(S_{DCMN} = FO \cdot CG = EO \cdot BH = S_{ABMN}\).

Таким образом, \(S_{ABMN} = S_{DCMN}\), что и требовалось доказать.