ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 794 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна \(15 \text{ см}\). Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен \(12,5 \text{ см}\)

\(\angle ABD = 90^{\circ}\), \(AD = 2R = 2 \cdot 12.5 = 25\); \(AB^2 = AH \cdot AD\), \(AH = \frac{225}{25} = 9\); \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), \(BH^2 = 144\), \(BH = 12\); \(DH = AD — AH = 16\), \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH = 192\); Ответ: 192 см².

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(\angle ABD = 90^{\circ}\), \(O \in AD\); \(AD = 2R = 2 \cdot 12.5 = 25\);

2) В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(AB^2 = AH \cdot AD\); \(15^2 = AH \cdot 25\); \(AH = \frac{225}{25} = 9\);

3) В прямоугольном \(\triangle ABH\): \(AB^2 = AH^2 + BH^2\); \(15^2 = 9^2 + BH^2\); \(225 = 81 + BH^2\); \(BH^2 = 144\), \(BH = 12\);

4) В трапеции \(ABCD\): \(DH = AD — AH = 16\); \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH\); \(S_{ABCD} = DH \cdot BH = 192\);

Ответ: 192 см².