ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 795 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна \(48 \text{ см}\), а средняя линия трапеции — \(25 \text{ см}\). Найдите площадь трапеции.

1) Построим отрезок ВЕ: \(BE \parallel AC\), \(BE \perp AD = E\); \(AC \perp BD\), \(BE \perp BD\);
2) В трапеции ABCD: \(AD \parallel BC\), \(MN = \frac{1}{2}(AD + BC)\);
3) В параллелограмме EBCA: \(AE = BC\), \(BE = AC = 48\) см;
4) В прямоугольном ΔEBD: \(ED = AE + AD = BC + AD = 50\) см, \(BE^2 = EH \cdot ED\), \(48^2 = EH \cdot 50\), \(EH = \frac{2304}{50} = 46,08\) см;
5) В прямоугольном ΔEBH: \(BE^2 = EH^2 + BH^2\), \(48^2 = (46,08)^2 + BH^2\), \(BH = \sqrt{180,6336} = 13,44\) см;
6) Площадь трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = MN \cdot BH = 25 \cdot 13,44 = 336\) см².

Ответ: \(S_{ABCD} = 336 \text{ см}^2\).

Решение:

1) Построим отрезок ВЕ:
BE ⊥ AC, BE ∩ AD = E;
AC ⊥ BD, BE ⊥ BD;

2) В трапеции ABCD:
AD ‖ BC, MN = \(\frac{1}{2}\)(AD + BC);

3) В параллелограмме EBCA:
AE = BC, BE = AC = 48;

4) В прямоугольном ΔEBD:
ED = AE + AD = BC + AD;
ED = 2MN = 2 · 25 = 50;
BE\(^2\) = EH · ED;
48\(^2\) = EH · 50;
EH = \(\frac{2304}{50}\) = 46,08;

5) В прямоугольном ΔEBH:
BE\(^2\) = EH\(^2\) + BH\(^2\);
48\(^2\) = (46,08)\(^2\) + BH\(^2\);
2304 = 2123,3664 + BH\(^2\);
BH\(^2\) = 180,6336, BH = 13,44;

6) В трапеции ABCD:
S\(_ABCD\) = MN · BH;
S\(_ABCD\) = 25 · 13,44 = 336 см\(^2\).

Ответ: 336 см\(^2\).