ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 796 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно \(a\).

В трапеции ABCD, где AD || BC и ∠A = ∠D, площадь вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC)h\), где h — высота трапеции. Поскольку трапеция равнобедренная, то AD = 2a и BC = a, где a — длина боковой стороны. Тогда \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(2a + a)\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\).

Решение:

1) В трапеции ABCD: AD || BC, ∠A = ∠D; AH = \(\frac{1}{2}(AD — BC)\)

2) Для AD и BC и секущей BD: ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB

3) ABCD равнобедренный: CD = BC = a

4) В прямоугольном ΔABD: ∠BDA = \(\frac{1}{2}∠D = \frac{1}{2}∠A\); ∠BDA + ∠BAD = 90°; \(\frac{1}{2}∠A + ∠A = 90°\); \(\frac{3}{2}∠A = 90°, ∠A = 60°\)

5) В прямоугольном ΔABH: \(\sin ∠A = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin ∠A = \frac{BH}{AB}\); BH = AB \(\sin ∠A = \frac{\sqrt{3}}{2}a\); \(\cos ∠A = \frac{1}{2}\), \(\cos ∠A = \frac{AH}{AB}\); AH = AB \(\cos ∠A = \frac{a}{2}\); \(\frac{a}{2} = \frac{1}{2}(AD — a)\); a = AD — a, AD = 2a

6) В трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC)BH\); \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(2a + a)\frac{\sqrt{3}}{2}a\); \(S_{ABCD} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ответ: \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\)