ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 797 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из ее боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной \(4 \text{ см}\) и \(9 \text{ см}\). Найдите площадь трапеции.

Краткий ответ:

Решение:
\(OE = OM = ON = R\)
\(2\angle BAO + \angle ABO = 180°\)
\(2\angle BAO + \angle ABO = 90°\)
\(\angle A + 2\angle B = 90°\)
\(\angle A + \angle B + 20 = 180°\)
\(20 = 90°\)
\(AD = 2AN = 18\)
\(BC = 2BM = 8\)
\(MN = 2 \cdot 6 = 12\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot MN\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(18 + 8) \cdot 12 = 156\)

Ответ: 156 см²

Подробный ответ:

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
\(OE = OM = ON = R\)
\(OE \perp AB, OM \perp BC, ON \perp AD\)
\(AO, BO\) — биссектрисы
\(AN = AE = 9, BM = BE = 4\)

2) В трапеции \(ABCD\):
\(AD \parallel BC, O \in MN, MN = 2R\)
\(2\angle BAD + \angle ABC = 180°\)
\(2\angle BAO + \angle ABO = 180°\)
\(2\angle BAO + \angle ABO = 90°\)

3) В треугольнике \(AOB\):
\(\angle A + 2\angle B = 90°\)
\(\angle A + \angle B + 20 = 180°\)
\(20 = 90°\)

4) В трапеции \(ABCD\):
\(AD = 2AN = 18\)
\(BC = 2BM = 8\)
\(MN = 2 \cdot 6 = 12\)

\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot MN\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(18 + 8) \cdot 12 = 156\)

Ответ: 156 см²

Оцени решение