ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 798 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса \(12 \text{ см}\). Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен \(16 \text{ см}\). Найдите площадь трапеции.

Дано:
ABCD — трапец;
MN — высота;
O — ц. впис. окр;
LA = ∠B = 90°;
DE = 16 см;
R = 12 см;

Найти: S_ABCD

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OE = OM = ON = R = 12;
BM = AN = R = 12;
OE ⊥ CD, OM ⊥ BC, ON ⊥ AD;
CO, DO — биссектрисы;
DN = DE = 16, CM = CE;

2) В трапеции ABCD:
AD ‖ BC, O ∈ MN, MN = 2R;
∠CDA + ∠DCB = 180°;
2∠CDO + 2∠DCO = 180°;
∠CDO + ∠DCO = 90°;

3) В треугольнике COD:
∠C + ∠D = 90°;
∠C + ∠D + ∠O = 180°;
∠O = 90°, OE^2 = CE · DE;
12^2 = CE · 16, CE = 144/16 = 9;

4) В трапеции ABCD:
AD = DN + AN = 28;
BC = CM + BM = 21;
MN = 2 · 12 = 24;

S_ABCD = 1/2 (AD + BC) · MN;
S_ABCD = 1/2 (28 + 21) · 24 = 588
Ответ: 588.

Дано:
ABCD — трапец;
MN — высота;
O — ц. впис. окр;
∠A = ∠B = 90°;
DE = 16 см;
R = 12 см;

Найти: S_ABCD

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OE = OM = ON = R = 12;
BM = AN = R = 12;
OE ⊥ CD, OM ⊥ BC, ON ⊥ AD;
CO, DO — биссектрисы;
DN = DE = 16, CM = CE;

2) В трапеции ABCD:
AD ‖ BC, O ∈ MN, MN = 2R;
\(\angle CDA + \angle DCB = 180°\);
\(2\angle CDO + 2\angle DCO = 180°\);
\(\angle CDO + \angle DCO = 90°\);

3) В треугольнике COD:
\(\angle C + \angle D = 90°\);
\(\angle C + \angle D + \angle O = 180°\);
\(\angle O = 90°\), \(OE^2 = CE \cdot DE\);
\(12^2 = CE \cdot 16\), \(CE = \frac{144}{16} = 9\);

4) В трапеции ABCD:
AD = DN + AN = 28;
BC = CM + BM = 21;
MN = 2 \cdot 12 = 24;

\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot MN\);
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} (28 + 21) \cdot 24 = 588 \text{ см}^2\).

Ответ: 588.