ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 800 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной \(15 \text{ см}\) и \(9 \text{ см}\). Большая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

В трапеции ABCD: AD || BC, DH = AD — BC. ABCD равнобедренный, поэтому LCBD = LCDB. Для AD, ВС и секущей BD: LADB = LCBD = LCDB. В прямоугольном CHD: CH = CE + HE = 24.

DE — биссектриса, \(\frac{HE}{CE} = \frac{DH}{CD}, \frac{DH}{CD} = \frac{3}{5}\), \(DH = \frac{3}{5}CD = AD — CD\), \(3CD = 5AD — 5CD\), \(5AD = 8CD, AD = \frac{8}{5}CD\), \(CD^2 = CH^2 + DH^2, CD^2 = 24^2 + \left(\frac{3}{5}CD\right)^2, CD^2 = 24^2 + \frac{9}{25}CD^2,\)
\( \frac{16}{25}CD^2 = 24^2, CD = 24\), \(AD = \frac{8}{5}\cdot 30 = 48\).

В трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC)\cdot CH, S_{ABCD} = \frac{1}{2}(48 + 30)\cdot 24 = 936\).

Ответ: 936 см².

Решение:

1) В трапеции ABCD: AD || BC, DH = AD — BC;
2) ABCD равнобедренный: LCBD = LCDB;
3) Для AD и ВС и секущей BD: LADB = LCBD = LCDB;
4) В прямоугольном CHD: CH = CE + HE = 24;

DE — биссектриса;
\(\frac{HE}{CE} = \frac{DH}{CD}, \frac{DH}{CD} = \frac{3}{5}\);
\(DH = \frac{3}{5}CD = AD — CD\);
\(3CD = 5AD — 5CD\);
\(5AD = 8CD, AD = \frac{8}{5}CD\);
\(CD^2 = CH^2 + DH^2\);
\(CD^2 = 24^2 + \left(\frac{3}{5}CD\right)^2\);
\(CD^2 = 24^2 + \frac{9}{25}CD^2\);
\(\frac{16}{25}CD^2 = 24^2\);
\(CD = 24\);
\(AD = \frac{8}{5}\cdot 30 = 48\);

5) В трапеции ABCD:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC)\cdot CH\);
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(48 + 30)\cdot 24 = 936\).

Ответ: 936 см².