ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 803 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Окружность, построенная на диагонали АС ромба ABCD как на диаметре, проходит через середину стороны АВ. Найдите углы ромба.

Краткий ответ:

Дано:
ABCD — ромб;
AC — диаметр;
AE = BE;

Найти:
∠A; ∠B;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OA = OE = OC = R;

2) Рассмотрим ромб ABCD:
AC ⊥ BD, AC ∥ BD;
BD — биссектриса;
∠B = 2 ⋅ ∠ABD;
∠A + ∠B = 180°;
∠A = 180° — ∠B;

3) В прямоугольном △AOB:
OE — медиана;
BE = AE = OE = R;
AB = AE + BE = 2R;
AB = 2AO, ∠ABO = 30°;

4) Рассмотрим ромб ABCD:
∠B = 2 ⋅ 30° = 60°;
∠A = 180° — 60° = 120°.

Ответ: 60°; 120°.

Подробный ответ:

Дано: ABCD — ромб; AC — диаметр; AE = BE.

Найти: ∠A; ∠B.

Решение:
1) Рассмотрим окружность, в которую вписан ромб ABCD. Так как ABCD — ромб, то центр окружности O находится в точке пересечения диагоналей, и радиус окружности R равен длине стороны ромба: OA = OE = OC = R.

2) Так как ABCD — ромб, то AC ⊥ BD и AC ∥ BD. Также BD является биссектрисой угла B: ∠B = 2 ⋅ ∠ABD.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠A + ∠B = 180°, следовательно, ∠A = 180° — ∠B.

3) В прямоугольном треугольнике AOB, медиана OE = R, BE = AE = OE = R, AB = AE + BE = 2R, AB = 2AO и ∠ABO = 30°.

4) Так как ABCD — ромб, то ∠B = 2 ⋅ 30° = 60° и ∠A = 180° — 60° = 120°.

Ответ: ∠A = 120°, ∠B = 60°.

Оцени решение