ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 809 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD известно, что АВ = a, BC = b, a > b. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, касаются диагонали BD в точках М и К соответственно. Найдите отрезок МК.

Дано:
\(ABCD\) — параллел;
\(O_1, O_2\) — ц. впис. окр;
\(AB = a, BC = b\);

Найти:
\(MK\);

Решение:
1) В параллелограмме \(ABCD\):
\(AB = CD, AD = BC\);

2) Рассмотрим \(\triangle DAB\) и \(\triangle BCD\):
\(BD\) — общая сторона;
\(\triangle DAB = \triangle BCD\) — третий признак;
\(E, F\) — точки касания, \(AE = CF\);

3) Рассмотрим окружность:
\(AE = CF = x\);
\(BE = AB — AE = a — x\);
\(BM = BE = a — x\);
\(BF = BC — CF = b — x\);
\(BK = BF = b — x\);
\(MK = BM — BK = a — b\);

Ответ: \(a — b\).

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(O_1, O_2\) — центры вписанных окружностей в треугольники \(DAB\) и \(BCD\) соответственно; \(AB = a, BC = b\); \(M\) и \(K\) — точки касания окружностей со стороной \(BD\).

Найти: \(MK\).

В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны: \(AB = CD = a\) и \(AD = BC = b\).

Рассмотрим треугольники \(DAB\) и \(BCD\). У них \(AB = CD = a\), \(AD = BC = b\), и общая сторона \(BD\). По третьему признаку равенства треугольников \(\triangle DAB = \triangle BCD\).

Поскольку треугольники равны, их площади равны, а значит, радиусы вписанных окружностей также равны: \(r_1 = r_2\).

Обозначим точки касания вписанной окружности треугольника \(DAB\) со сторонами как: \(E\) — на стороне \(AB\), \(M\) — на стороне \(BD\), и третья точка на стороне \(AD\).

Аналогично для треугольника \(BCD\): \(F\) — на стороне \(BC\), \(K\) — на стороне \(BD\), и третья точка на стороне \(CD\).

По свойству касательных к окружности из внешней точки, касательные равны. Для треугольника \(DAB\): \(AE = AD — DM\), где \(DM\) — расстояние от \(D\) до точки касания \(M\).

Поскольку треугольники \(DAB\) и \(BCD\) равны и имеют равные вписанные окружности, точки касания \(E\) и \(F\) расположены симметрично относительно центра параллелограмма. Это означает, что \(AE = CF\).

Пусть \(AE = CF = x\). Тогда:
— \(BE = AB — AE = a — x\)
— \(BF = BC — CF = b — x\)

По свойству касательных из точки \(B\) к вписанной окружности треугольника \(DAB\): \(BE = BM = a — x\).

Аналогично, по свойству касательных из точки \(B\) к вписанной окружности треугольника \(BCD\): \(BF = BK = b — x\).

Поскольку точки \(M\) и \(K\) лежат на стороне \(BD\), и \(BM = a — x\), \(BK = b — x\), то:

\(MK = |BM — BK| = |(a — x) — (b — x)| = |a — b|\)

Учитывая расположение точек на диагонали \(BD\) и то, что в параллелограмме обычно \(a \neq b\), получаем:

\(MK = a — b\)

Ответ: \(a — b\).