ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 82 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из вершины \(B\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр \(BE\) на диагональ \(AC\). Через точку \(A\) проведена прямая \(t\), перпендикулярная прямой \(AD\), а через точку \(C\) — прямая \(p\), перпендикулярная прямой \(CD\). Докажите, что точка пересечения прямых \(t\) и \(p\) принадлежит прямой \(BE\).

1) В параллелограмме ABCD: BC || AD, AB ⊥ CD;
2) Рассмотрим треугольник АВС: AF ⊥ AD, AD || BC, AF ⊥ BC; CF ⊥ CD, CD || AB, CF ⊥ AB; AF, CF, ВЕ — высоты; AF ∩ CF = F;
BE ∩ AF = F;
F ∈ BE;
Что и требовалось доказать.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Точка F лежит на стороне AC и пересекает диагональ BD в точке F.
— Прямая BE перпендикулярна прямой AC.
— Прямая AF перпендикулярна прямой AD.
— Прямая CF перпендикулярна прямой CD.

Доказать: Точка F лежит на прямой BE.

Решение:
1) Так как ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны BC и AD параллельны и равны по длине (BC || AD, AB = CD).
2) Так как BE ⊥ AC, то треугольник ABC является прямоугольным в точке B, и AF ⊥ AD.
3) Так как CF ⊥ CD, то треугольник ADC является прямоугольным в точке C, и AF ⊥ BC.
4) Таким образом, AF является высотой в треугольнике ABC и треугольнике ADC.
5) Так как AF ⊥ AD и AF ⊥ BC, то AF ⊥ BD, то есть AF является высотой параллелограмма ABCD.
6) Точка F является точкой пересечения высоты AF и диагонали BD.
7) Согласно теореме Фалеса, отрезки, образованные точкой пересечения высоты и диагонали, пропорциональны, то есть \(AF/FB = AD/DB\).
8) Так как ABCD является параллелограммом, то AD = BC и AB = DC, следовательно, \(AF/FB = 1\).
9) Таким образом, точка F лежит на середине отрезка BE, то есть F ∈ BE.
10) Что и требовалось доказать.