Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 825 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Угол между двумя секущими, проходящими через точку вне окружности, равен 35°. Градусная мера большей дуги окружности, заключенной между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите градусную меру меньшей дуги, находящейся между сторонами данного угла.
Дано: O — центр окружности, \(\angle BAC = 35°\), дуга DE = 100°.
Найти: дугу BC.
Рассмотрим окружность. Вписанный угол DCE опирается на дугу DE, поэтому \(\angle DCE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DE = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°\).
В треугольнике ACD угол ACD является внешним для угла DCE, поэтому \(\angle ACD = 180° — \angle DCE = 180° — 50° = 130°\).
В треугольнике ACD сумма углов равна 180°: \(\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180°\). Подставляем известные значения: \(\angle ADC + 35° + 130° = 180°\), откуда \(\angle ADC = 15°\).
Вписанный угол ADC опирается на дугу AC, поэтому дуга AC = \(2 \cdot \angle ADC = 2 \cdot 15° = 30°\).
Вписанный угол BDC опирается на дугу BC, и \(\angle BDC = \angle ADC = 15°\) (как вертикальные углы), поэтому дуга BC = \(2 \cdot \angle BDC = 2 \cdot 15° = 30°\).
Ответ: 30°.
Дано: O — центр окружности, \(\angle BAC = 35°\), дуга DE = 100°.
Найти: дугу BC.
Из рисунка видно, что точки A, B, C, D, E расположены на окружности с центром O. Точка A находится слева, B — выше A, C — ниже A, D — в верхней части окружности, E — в нижней части.
Рассматриваем вписанный угол DCE. Этот угол опирается на дугу DE. По теореме о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поскольку дуга DE = 100°, то \(\angle DCE = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°\).
Рассматриваем треугольник ACD. В этом треугольнике нам известен угол \(\angle DAC = \angle BAC = 35°\) (это один и тот же угол). Угол ACD является смежным с углом DCE, поэтому \(\angle ACD = 180° — \angle DCE = 180° — 50° = 130°\).
В треугольнике ACD применяем теорему о сумме углов треугольника: \(\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180°\). Подставляем известные значения: \(\angle ADC + 35° + 130° = 180°\). Отсюда находим: \(\angle ADC = 180° — 35° — 130° = 15°\).
Угол ADC является вписанным углом, который опирается на дугу AC. По теореме о вписанном угле: дуга AC = \(2 \cdot \angle ADC = 2 \cdot 15° = 30°\).
Рассматриваем угол BDC. Из построения видно, что углы ADC и BDC являются смежными углами на прямой AC, проходящей через точку D. Однако более точно, угол BDC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.
Поскольку точки A, B, C лежат на окружности в указанном порядке, и учитывая геометрию задачи, угол BDC равен углу ADC (это следует из симметрии конфигурации и того факта, что оба угла являются вписанными углами, опирающимися на равные дуги).
Следовательно, \(\angle BDC = \angle ADC = 15°\).
Угол BDC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. По теореме о вписанном угле: дуга BC = \(2 \cdot \angle BDC = 2 \cdot 15° = 30°\).
Ответ: дуга BC = 30°.
