Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 827 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если вершина угла лежит внутри окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол тупой или развернутый.
Рассмотрим окружность с центром O и диаметром BC. Точка A расположена на окружности.
Поскольку BC является диаметром окружности, то для любой точки D на окружности угол \(\angle BDC = 90°\) (угол, опирающийся на диаметр, является прямым).
Треугольник ADB является прямоугольным с прямым углом при D, следовательно, угол \(\angle BAD\) является острым (меньше 90°).
Углы \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\) являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180°: \(\angle BAC + \angle BAD = 180°\).
Отсюда получаем: \(\angle BAC = 180° — \angle BAD\).
Поскольку \(\angle BAD < 90°\), то \(\angle BAC = 180° - \angle BAD > 180° — 90° = 90°\).
Следовательно, \(\angle BAC > 90°\), что означает, что угол BAC является тупым.
В случае, когда точка A лежит на диаметре BC, угол \(\angle BAC = 180°\) (развернутый угол).
Таким образом, во всех случаях \(\angle BAC > 90°\).
Дано: O — центр окружности, BC — диаметр окружности, A — точка на окружности. Требуется доказать, что \(\angle BAC > 90°\).
Рассмотрим окружность с центром O. Поскольку BC является диаметром этой окружности, то BC проходит через центр O и является наибольшей хордой окружности.
Воспользуемся теоремой Фалеса: угол, вписанный в полуокружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом. Это означает, что для любой точки D, лежащей на окружности (кроме точек B и C), угол \(\angle BDC = 90°\).
Рассмотрим точку D на окружности, расположенную так, чтобы она находилась на той же дуге, что и точка A, но с противоположной стороны от хорды BC. Тогда угол \(\angle BDC = 90°\) согласно теореме Фалеса.
В треугольнике ADB угол \(\angle ADB\) является прямым углом, поскольку он опирается на диаметр BC. Следовательно, треугольник ADB — прямоугольный с прямым углом при вершине D.
В прямоугольном треугольнике ADB сумма острых углов равна 90°, поэтому \(\angle BAD + \angle ABD = 90°\). Это означает, что угол \(\angle BAD\) является острым углом, то есть \(\angle BAD < 90°\). Рассмотрим углы \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\). Эти углы являются смежными углами, поскольку они имеют общую сторону AB, а их другие стороны AC и AD образуют прямую линию (точки A, D, C лежат на окружности в указанном порядке). По свойству смежных углов их сумма равна 180°: \(\angle BAC + \angle BAD = 180°\). Выражая угол \(\angle BAC\) через угол \(\angle BAD\), получаем: \(\angle BAC = 180° - \angle BAD\). Поскольку мы установили, что \(\angle BAD < 90°\), то: \(\angle BAC = 180° - \angle BAD > 180° — 90° = 90°\).
Следовательно, \(\angle BAC > 90°\), что означает, что угол BAC является тупым углом.
Рассмотрим особый случай, когда точка A совпадает с диаметром BC или лежит на продолжении диаметра. В этом случае угол \(\angle BAC = 180°\), что также удовлетворяет условию \(\angle BAC > 90°\).
Таким образом, для любого расположения точки A на окружности (кроме точек B и C) выполняется неравенство \(\angle BAC > 90°\), что и требовалось доказать.
