Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 831 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На медиане BD треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : MD = 3 : 2. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке Е. В каком отношении точка Е делит сторону ВС, считая от вершины В?
Дано: BD — медиана треугольника ABC, BM : MD = 3 : 2. Найти: BE : CE.
Построим отрезок DF параллельно AE, где F лежит на BC.
В треугольнике DBF по теореме о пропорциональных отрезках: \(\frac{BM}{MD} = \frac{BE}{EF}\). Поскольку BM : MD = 3 : 2, то \(\frac{BE}{EF} = \frac{3}{2}\).
В треугольнике AEC, поскольку DF || AE, по теореме Фалеса: \(\frac{AD}{DC} = \frac{EF}{FC}\). Так как BD — медиана, то AD = DC, следовательно \(\frac{EF}{FC} = 1\), откуда EF = FC.
Рассмотрим отрезок BC. Из пункта 2 знаем, что \(\frac{BE}{EF} = \frac{3}{2}\), значит \(BE = \frac{3}{2}EF\).
Из пункта 3 знаем, что EF = FC, поэтому CE = EF + FC = 2EF.
Находим отношение: \(\frac{BE}{CE} = \frac{\frac{3}{2}EF}{2EF} = \frac{3}{4}\).
Ответ: BE : CE = 3 : 4.
Дано: BD — медиана треугольника ABC, BM : MD = 3 : 2. Найти: BE : CE.
Поскольку BD — медиана треугольника ABC, то D является серединой стороны AC, следовательно AD = DC.
Точка M лежит на медиане BD, причем BM : MD = 3 : 2. Это означает, что точка M делит медиану BD в отношении 3:2, считая от вершины B.
Для решения задачи построим вспомогательный отрезок DF, параллельный стороне AE, где F — точка пересечения этой прямой со стороной BC. Таким образом, DF || AE и F ∈ BC.
Рассмотрим треугольник DBF. В этом треугольнике точка M лежит на стороне BD, а точка E лежит на стороне BF. По теореме о пропорциональных отрезках (следствие из теоремы Фалеса), если провести прямую, параллельную одной из сторон треугольника, то она отсекает от двух других сторон пропорциональные отрезки.
Применяя эту теорему к треугольнику DBF с секущей ME, получаем: \(\frac{BM}{MD} = \frac{BE}{EF}\).
Подставляя известное отношение BM : MD = 3 : 2, получаем: \(\frac{BE}{EF} = \frac{3}{2}\).
Это означает, что BE = \(\frac{3}{2}\)EF.
Теперь рассмотрим треугольник AEC. Поскольку DF || AE по построению, применим теорему Фалеса к этому треугольнику. Прямая DF, параллельная стороне AE, пересекает стороны AC и EC в точках D и F соответственно.
По теореме Фалеса: \(\frac{AD}{DC} = \frac{EF}{FC}\).
Поскольку D — середина AC (так как BD — медиана), то AD = DC, следовательно \(\frac{AD}{DC} = 1\).
Отсюда получаем: \(\frac{EF}{FC} = 1\), что означает EF = FC.
Теперь найдем длину отрезка CE. Поскольку точки E, F, C лежат на одной прямой BC в указанном порядке, то CE = EF + FC.
Учитывая, что EF = FC, получаем: CE = EF + FC = EF + EF = 2EF.
Найдем отношение BE : CE. Из предыдущих вычислений знаем:
— BE = \(\frac{3}{2}\)EF
— CE = 2EF
Следовательно: \(\frac{BE}{CE} = \frac{\frac{3}{2}EF}{2EF} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\).
Это означает, что BE : CE = 3 : 4.
Проверим правильность решения. Если BE : CE = 3 : 4, то BE составляет \(\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\) от всего отрезка BC, а CE составляет \(\frac{4}{7}\) от BC. При этом EF = FC = \(\frac{1}{2}\)CE = \(\frac{2}{7}\)BC, а BE = \(\frac{3}{2}\)EF = \(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{7}\)BC = \(\frac{3}{7}\)BC, что подтверждает правильность решения.
Ответ: BE : CE = 3 : 4.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
