ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 84 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) вне его построены равносторонние треугольники \(ABM\) и \(BCK\). Докажите, что треугольник \(MKD\) равносторонний.

1) В параллелограмме ABCD: AB = CD, BC = AD, \(\angle A = \angle C\); \(\angle A + \angle B = 180°\), \(\angle B = 180° — \angle A\);
2) Рассмотрим \(\triangle AMD\), \(\triangle ADK\) и \(\triangle MBK\): \(\angle MAD = 60° + \angle A\); \(\angle DCK = 60° + \angle A\); \(\angle MBK = 360° — \angle B — 60° — 60°\); \(\angle MBK = 240° — (180° — \angle A)\); \(\angle MBK = 60° + \angle A\); \(\angle MBK = \angle MAD = \angle DCK\); BK = KC = BC = AD; MB = MA = AB = CD;
3) Равны по второму признаку: \(\triangle MAD = \triangle ADK = \triangle MBK\); MD = MK = KD; \(\triangle MKD\) — равносторонний.
Что и требовалось доказать.

Решение:
Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, диагонали АВМ и ADK равны, а треугольник МВК равносторонний.

Доказать: треугольник МКD равносторонний.

Доказательство:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD. Также, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle A + \angle B = 180°\), следовательно, \(\angle B = 180° — \angle A\).

2) Рассмотрим треугольники AMD, ADK и MBK:
— \(\angle MAD = 60° + \angle A\), так как в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются под прямым углом.
— \(\angle DCK = 60° + \angle A\), так как в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются под прямым углом.
— \(\angle MBK = 360° — \angle B — 60° — 60°\), так как треугольник MBK является равносторонним.
— \(\angle MBK = 240° — (180° — \angle A)\), упрощая предыдущее выражение.
— \(\angle MBK = 60° + \angle A\), таким образом, \(\angle MBK = \angle MAD = \angle DCK\).

3) Так как \(\triangle MAD\), \(\triangle ADK\) и \(\triangle MBK\) равны по второму признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны), то:
— \(\triangle MAD = \triangle ADK = \triangle MBK\)
— MD = MK = KD

Следовательно, \(\triangle MKD\) является равносторонним треугольником, что и требовалось доказать.