ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 852 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BD ⊥ AD, BD = 16 см, ∠A = 45°.

Дано: ABCD — параллелограмм, BD ⊥ AD, BD = 16 см, ∠A = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABD диагональ BD является высотой к стороне AD. Поскольку ∠A = 45°, то \(tg 45° = 1\), следовательно \(tg A = \frac{BD}{AD}\), откуда \(1 = \frac{16}{AD}\), поэтому \(AD = 16\) см.

В параллелограмме ABCD площадь равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Поскольку BD ⊥ AD, то BD является высотой к стороне AD.

Площадь параллелограмма: \(S_{ABCD} = AD \cdot BD = 16 \cdot 16 = 256\) см².

Дано: ABCD — параллелограмм, BD ⊥ AD, BD = 16 см, ∠A = 45°. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике угол ADB является прямым, поскольку BD ⊥ AD по условию. Угол BAD равен 45° по условию. Следовательно, угол ABD равен \(90° — 45° = 45°\), что означает, что треугольник ABD является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике ABD катет BD лежит напротив угла A, а катет AD лежит напротив угла ABD. Поскольку оба острых угла равны 45°, катеты BD и AD равны между собой.

Используем определение тангенса угла A в прямоугольном треугольнике ABD. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \(tg A = \frac{BD}{AD}\).

Подставляем известные значения: \(tg 45° = \frac{16}{AD}\).

Поскольку \(tg 45° = 1\), получаем уравнение: \(1 = \frac{16}{AD}\).

Решаем уравнение относительно AD: \(AD = \frac{16}{1} = 16\) см.

Таким образом, мы установили, что AD = 16 см, что подтверждает равенство катетов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABD.

Для вычисления площади параллелограмма ABCD используем формулу площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне: \(S = a \cdot h\), где a — сторона параллелограмма, h — высота к этой стороне.

В нашем случае сторона AD имеет длину 16 см, а высота к этой стороне равна длине BD, которая составляет 16 см. Это следует из того, что BD перпендикулярна AD, что означает, что BD является высотой параллелограмма, опущенной на сторону AD.

Вычисляем площадь параллелограмма: \(S_{ABCD} = AD \cdot BD = 16 \cdot 16 = 256\) см².

Ответ: 256 см².