ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 855 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Катет прямоугольного треугольника равен b, а противолежащий ему угол равен В. Найдите площадь треугольника.

Дано: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = b, угол B = β.

В прямоугольном треугольнике ABC применим определение тангенса угла B:

\(tg β = \frac{AC}{BC}\)

Откуда находим BC:

\(BC = \frac{AC}{tg β} = \frac{b}{tg β}\)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{tg β} = \frac{b^2}{2 tg β}\)

Ответ: \(\frac{b^2}{2 tg β}\)

Дано: прямоугольный треугольник ABC, где угол ACB = 90°, AC = b, угол B = β. Необходимо найти площадь треугольника ABC.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C, то AC и BC являются катетами, а AB — гипотенузой.

Для нахождения площади треугольника нам необходимо знать длины обоих катетов. Катет AC уже известен и равен b. Найдем длину катета BC, используя тригонометрические соотношения.

В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла B определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащим катетом для угла B является AC, а прилежащим катетом является BC.

Следовательно: \(tg β = \frac{AC}{BC}\)

Подставляя известное значение AC = b, получаем: \(tg β = \frac{b}{BC}\)

Из этого соотношения выражаем BC: \(BC = \frac{b}{tg β}\)

Это означает, что длина катета BC равна отношению длины катета AC к тангенсу угла B.

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов, можем вычислить площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Формула площади: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\)

Подставляем известные значения: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{tg β}\)

Упрощаем выражение: \(S_{ABC} = \frac{b \cdot b}{2 \cdot tg β} = \frac{b^2}{2 tg β}\)

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{b^2}{2 tg β}\).