ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 87 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько существует неравных между собой:
1) прямоугольных треугольников со стороной \(5\) см и углом \(45^\circ\);
2) равнобедренных треугольников со стороной \(6\) см и углом \(30^\circ\);
3) прямоугольных треугольников со стороной \(7\) см и углом \(60^\circ\)?

Ответы:
1) 2 неравных прямоугольных треугольника: \(a = 5 \text{ см}, \alpha = 45^\circ\) и \(a = 5 \text{ см}, c = 5 \text{ см}\)
2) 4 неравных равнобедренных треугольника: \(b = 5 \text{ см}, \alpha = 30^\circ\), \(b = 5 \text{ см}, \beta = 30^\circ\), \(a = 6 \text{ см}, \alpha = 30^\circ\), \(a = 6 \text{ см}, \beta = 30^\circ\)
3) 3 неравных прямоугольных треугольника: \(a = 7 \text{ см}, \alpha = 60^\circ\), \(b = 7 \text{ см}, \beta = 60^\circ\), \(c = 7 \text{ см}\)

Решение:

1) Прямоугольные треугольники со стороной 5 см и углом 45°:
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), справедливы соотношения:
\(a^2 + b^2 = c^2\) (теорема Пифагора)
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) (определения тригонометрических функций)
Для треугольника с \(a = 5 \text{ см}, \alpha = 45^\circ\):
\(\sin 45^\circ = \frac{a}{c}\), значит \(c = \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} \text{ см}\)
Для треугольника с \(c = 5 \text{ см}\):
\(a^2 + b^2 = c^2\), значит \(a = b = 5 \text{ см}\)
Таким образом, существует 2 неравных прямоугольных треугольника.

2) Равнобедренные треугольники со стороной 6 см и углом 30°:
Для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами \(b\) и основанием \(a\), справедливы соотношения:
\(b^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\) (теорема Пифагора)
\(\sin \alpha = \frac{a}{2b}\), \(\cos \alpha = \frac{b}{2b}\), \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) (определения тригонометрических функций)
Для треугольника с \(a = 6 \text{ см}, \alpha = 30^\circ\):
\(\sin 30^\circ = \frac{a}{2b}\), значит \(b = \frac{a}{2\sin 30^\circ} = \frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5 \text{ см}\)
\(\cos 30^\circ = \frac{b}{2b}\), значит \(\beta = 30^\circ\)
Для треугольника с \(b = 5 \text{ см}, \beta = 30^\circ\):
\(a^2 = b^2 — \left(\frac{b}{2}\right)^2\), значит \(a = 6 \text{ см}\)
\(\sin 30^\circ = \frac{a}{2b}\), значит \(\alpha = 30^\circ\)
Таким образом, существует 4 неравных равнобедренных треугольника.

3) Прямоугольные треугольники со стороной 7 см и углом 60°:
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), справедливы соотношения:
\(a^2 + b^2 = c^2\) (теорема Пифагора)
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) (определения тригонометрических функций)
Для треугольника с \(c = 7 \text{ см}, \alpha = 60^\circ\):
\(\sin 60^\circ = \frac{a}{c}\), значит \(a = c\sin 60^\circ = 7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}\)
\(\cos 60^\circ = \frac{b}{c}\), значит \(b = c\cos 60^\circ = 7\cdot\frac{1}{2} = 7 \text{ см}\)
Для треугольника с \(a = 7 \text{ см}, \beta = 60^\circ\):
\(\sin 60^\circ = \frac{a}{c}\), значит \(c = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sqrt{3}/2} = 7 \sqrt{3} \text{ см}\)
\(\cos 60^\circ = \frac{b}{c}\), значит \(b = c\cos 60^\circ = 7 \sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = 7 \text{ см}\)
Для треугольника с \(c = 7 \text{ см}\):
\(a^2 + b^2 = c^2\), значит \(a = b = 7 \text{ см}\)
Таким образом, существует 3 неравных прямоугольных треугольника.