ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 90 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из соседних сторон четырехугольника, равна \(180^\circ\), то этот четырехугольник — параллелограмм

1) Для прямых AD и BC и секущей AB: \(\angle DAB + \angle CBA = 180°\); AD || BC;
2) Для прямых AB и CD и секущей BC: \(\angle ABC + \angle DCB = 180°\); AB || CD;
3) В четырехугольнике ABCD AD || BC, AB || CD; ABCD — параллелограмм.

Дано:
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\)
\(\angle B + \angle C = 180^\circ\)

Требуется доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Доказательство:
1) Рассмотрим прямые AD и BC, которые пересекаются секущей AB. Согласно теореме об углах, образованных секущей и параллельными прямыми, имеем:
\(\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ\)

2) Аналогично, рассмотрим прямые AB и CD, которые пересекаются секущей BC. Согласно теореме об углах, образованных секущей и параллельными прямыми, имеем:
\(\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ\)

3) Из пунктов 1 и 2 следует, что в четырехугольнике ABCD противоположные углы являются равными, то есть четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.