ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 93 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) отметили точки \(M\) и \(K\) так, что \(AM = CK\). Докажите, что четырехугольник \(MBKD\) — параллелограмм.
1) В параллелограмме ABCD: AD = BC, AD || BC;
2) Для прямых AD и ВС и секущей АС: \(\angle\text{DAC} = \angle\text{BCA}\);
3) Рассмотрим \(\triangle\text{AMD}\) и \(\triangle\text{CKB}\): \(\angle\text{DAM} = \angle\text{BCK}\), \(\angle\text{AMD} = \angle\text{CKB}\), MD = BK;
4) Для прямых MD и ВК и секущей МК: \(\angle\text{DMK} = 180^\circ — \angle\text{AMD}\), \(\angle\text{BKM} = 180^\circ — \angle\text{CKB}\), \(\angle\text{DMK} = \angle\text{BKM}\), MD || BK;
5) В четырехугольнике BMDK: MD = BK, MD || BK, BMDK — параллелограмм.
Решение:
Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, AM = CK.
Требуется доказать, что MBKD также является параллелограммом.
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны AB и CD, а также AD и BC равны и параллельны: \(AD = BC\), \(AD || BC\).
2) Рассмотрим угол \(\angle\text{DAC}\) и \(\angle\text{BCA}\). Так как они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей AC, то \(\angle\text{DAC} = \angle\text{BCA}\).
3) Рассмотрим треугольники AMD и CKB. Так как \(AM = CK\) (по условию), \(\angle\text{DAM} = \angle\text{BCK}\) (накрест лежащие углы), и \(\angle\text{AMD} = \angle\text{CKB}\) (вертикальные углы), то по первому признаку равенства треугольников \(\triangle\text{AMD} \cong \triangle\text{CKB}\). Следовательно, \(MD = BK\).
4) Рассмотрим прямые MD и BK, пересекаемые секущей MK. Так как \(\angle\text{DMK} = 180^\circ — \angle\text{AMD}\) и \(\angle\text{BKM} = 180^\circ — \angle\text{CKB}\), и эти углы равны, то \(\angle\text{DMK} = \angle\text{BKM}\). Следовательно, \(MD || BK\).
5) Таким образом, в четырехугольнике BMDK противоположные стороны равны (MD = BK) и параллельны (MD || BK), то есть BMDK является параллелограммом.
Следовательно, доказано, что MBKD является параллелограммом.
