ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 94 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности имеют общий центр \(O\) (рис. \(38\)). В одной из окружностей проведен диаметр \(AB\), в другой — диаметр \(CD\). Докажите, что четырехугольник \(ACBD\) — параллелограмм

1) В окружности радиуса CD: CO = OD = r;
2) В окружности радиуса AB: AO = OB = R;
3) Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC: \(\angle AOD = 2 \angle BOC\); ΔAOD ≅ ΔBOC — первый признак; AD = BC, \(\angle DAO = \angle CBO\);
4) Для прямых AD и BC и секущей AB \(\angle DAB = 2 \angle CBA\); AD || BC;
5) В четырехугольнике ACBD AD = BC, AD || BC; ACBD — параллелограмм.

Решение:

Дано:
— Диаметр окружности CD равен CD.
— Диаметр окружности AB равен AB.
— Центр окружностей обозначен как O.

Доказать: Четырехугольник ACBD является параллелограммом.

Шаг 1: Рассмотрим окружность с диаметром CD.
Согласно свойствам окружности, центр O делит диаметр CD пополам, то есть \(CO = OD = \frac{CD}{2} = r\).

Шаг 2: Рассмотрим окружность с диаметром AB.
Аналогично, центр O делит диаметр AB пополам, то есть \(AO = OB = \frac{AB}{2} = R\).

Шаг 3: Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC.
Из свойств окружности следует, что \(\angle AOD = 2 \angle BOC\). Кроме того, треугольники ΔAOD и ΔBOC равны по первому признаку равенства треугольников, так как \(AO = OB\), \(OD = OC\) и \(\angle AOD = \angle BOC\). Следовательно, \(AD = BC\) и \(\angle DAO = \angle CBO\).

Шаг 4: Рассмотрим прямые AD и BC, а также секущую AB.
Из равенства треугольников ΔAOD и ΔBOC следует, что \(\angle DAB = 2 \angle CBA\). Таким образом, прямые AD и BC параллельны.

Шаг 5: Рассмотрим четырехугольник ACBD.
Поскольку AD = BC и AD || BC, четырехугольник ACBD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ACBD является параллелограммом.