ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 97 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах параллелограмма \(ABCD\) (рис. \(39\)) отложены равные отрезки \(AM\), \(BK\), \(CE\) и \(DF\). Докажите, что четырехугольник \(MKEF\) — параллелограмм

Решение:
1) В параллелограмме ABCD: AB = CD, AB || CD; AD = BC, AD || BC; ∠A = ∠C, ∠B = ∠D;
2) Рассмотрим △AMF и △CKE: AF = AD — DF = BC — BK = CK; ∠MAF = ∠CKE;
△AMF = △CKE — первый признак; MF = KE;
3) Рассмотрим △ABM и △DEF: BM = AB — AM = CD — CE = DE; ∠KBM = ∠FDE;
△BKM = △DEF — первый признак; MK = EF;
4) В четырехугольнике MKEF: MF = KE, MK = EF; MKEF — параллелограмм.

Решение:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом: ABCD ||
— Отрезки AM, BK, CE и DF равны: AM = BK = CE = DF

Доказательство:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD:
— Противоположные стороны AB и CD равны: AB = CD
— Противоположные стороны AB и CD параллельны: AB || CD
— Противоположные стороны AD и BC равны: AD = BC
— Противоположные стороны AD и BC параллельны: AD || BC
— Углы A и C равны: ∠A = ∠C
— Углы B и D равны: ∠B = ∠D

2) Рассмотрим треугольники AMF и CKE:
— Отрезок AF равен разности AD и DF: AF = AD — DF = BC — BK = CK
— Углы ∠MAF и ∠CKE равны: ∠MAF = ∠CKE
— Треугольники AMF и CKE равны по первому признаку равенства треугольников: △AMF = △CKE
— Следовательно, MF = KE

3) Рассмотрим треугольники ABM и DEF:
— Отрезок BM равен разности AB и AM: BM = AB — AM = CD — CE = DE
— Углы ∠KBM и ∠FDE равны: ∠KBM = ∠FDE
— Треугольники BKM и DEF равны по первому признаку равенства треугольников: △BKM = △DEF
— Следовательно, MK = EF

4) Рассмотрим четырехугольник MKEF:
— Диагонали MF и KE равны: MF = KE
— Диагонали MK и EF равны: MK = EF
— Следовательно, четырехугольник MKEF является параллелограммом: MKEF ||

Таким образом, доказано, что четырехугольник MKEF является параллелограммом.