ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 99 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В четырехугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB \parallel CD\), \(\angle A = \angle C\). Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм.

1) Для прямых AB и CD и секущей BC: \(\angle ABC + \angle BCD = 180°\); \(\angle B + \angle C = 180°\); \(\angle B = 180° — \angle C = 180° — \angle A\);
2) Для прямых BC и AD и секущей AB: \(\angle DAB + \angle ABC = \angle A + \angle B = 180°\); AD || BC;
3) В четырехугольнике ABCD AB || CD, AD || BC; ABCD — параллелограмм.

Дано: AB || CD, ∠A = ∠C.

Доказательство:
1) Рассмотрим прямые AB и CD, пересекаемые секущей BC. Согласно свойству накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей, ∠ABC + ∠BCD = 180°.
2) Так как ∠A = ∠C, то ∠B + ∠C = 180°. Следовательно, ∠B = 180° — ∠C = 180° — ∠A.
3) Теперь рассмотрим прямые BC и AD, пересекаемые секущей AB. Согласно свойству соответственных углов при пересечении параллельных прямых секущей, ∠DAB + ∠ABC = ∠A + ∠B = 180°. Это означает, что AD || BC.
4) Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB || CD и AD || BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Вывод: Доказано, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.