ГДЗ по Геометрии 8 Класс Проверьте себя №1 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Каким из представленных способов можно обозначить четырехугольник, изображен- ный на рисунке 111? A) \(MPQN\); B) \(NPMQ\); Б) \(QMNP\); Г) \(QNPM\).

2. Какие углы могут быть в четырехугольнике?
А) Четыре тупых угла;
Б) четыре острых угла;
В) два тупых и два прямых угла;
Г) два прямых угла, один острый угол и один тупой угол.

3. В четырехугольнике каждая сторона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырехугольника?
A) \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(120^\circ\);
Б) \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(90^\circ\), \(90^\circ\);
B) \(90^\circ\), \(90^\circ\), \(90^\circ\), \(90^\circ\);
Г) \(150^\circ\), \(30^\circ\), \(150^\circ\), \(30^\circ\).

4. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см? А) 5 см, 10 см; В) 7 см, 8 см;
Б) 6 см, 4 см;
Г) 3 см, 12 см.

5. Четырехугольник является параллелограммом, если:
А) у него имеются две пары равных сторон;
Б) у него имеются две пары равных углов;
В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника;
Г) у него три стороны равны.

6. Какое из данных утверждений неверно?
А) Четырехугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — квадрат;
Б) параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендику- лярны, — квадрат;
В) параллелограмм, у которого все углы прямые и диагонали равны, — квадрат;
Г) ромб, у которого диагонали равны, — квадрат.

7. В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) принадлежат соответственно сторонам \(AB\) и \(BC\). Отрезок \(MN\) является средней линией, если:
А) \(MN \| AC\);
B) \(MN = \frac{1}{2} AC\);
B) \(MN = \frac{1}{2} AC, \angle BNM = \frac{1}{2} BAC\);
T) \(MN = \frac{1}{2} AC, \angle BNM = \angle BCA\).

8. Каким из приведенных свойств не может обладать трапеция?
А) Противолежащие углы равны;
Б) диагонали равны и перпендикулярны;
В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании;
Г) средняя линия трапеции равна ее высоте.

9. Вписанные углы одной окружности равны, если они:
А) опираются на одну хорду;
Б) имеют общую вершину;
В) опираются на одну дугу;
Г) имеют общую сторону.

10. Около четырехугольника \(CDEF\) описана окружность, \(\angle CDF = 80^\circ\), \(\angle DEC = 30^\circ\). Чему равен угол \(DCF\)?
A) \(50^\circ\);
B) \(70^\circ\);
Б) \(110^\circ\);
г) \(90^\circ\).

1) В четырехугольнике ABCD: AB = BC = CD = AD; ABCD — ромб; \(LA = LC, LB = LD; LA + LB = 180°\)

2) LABD — равносторонний: \(LA = 60°, LB = 180° — LA = 120°; LC = LA = 60°, LD = LB = 120°\)
3)

\(AB = BM; BC = 2BM = 2AB; P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD;\)
\( AB + BC + AB + BC = 30; 2AB + 2BC = 30, AB + BC = 15; \)
\(AB + 2AB = 15, 3AB = 15; AB = 5, BC = 2 \cdot 5 = 10\)
4)

В параллелограмме ABCD: \(BC = 2BM = 2AB\)
5)

\(ABAD = ABCD, BD — общая сторона, LA = LC; DABC = AADC,\)
\( AC — общая сторона, LB = LD; ABCD — параллелограмм\)
6) Параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны является квадратом (под данное описание подходит любой прямоугольник)
7)

\(MN = AC, LBNM = LBCA, MN — средняя линия\)
8)

\(AD || BC, LA + LB = 180°; LA = LC, AB || CD; AB || CD, AD || BC;\)
\( ABCD — параллелограмм\)
9) Вписанные углы одной окружности равны, если они опираются на одну дугу
10)

1) Рассмотрим окружность: \(\angle CDF = \angle UCF = \angle CEF\); \(\angle CEF = \angle CDF = 80°\);
2) В четырехугольнике CDEF: \(\angle DEF = \angle CEF + \angle DEC\); \(\angle DEF = 80° + 30° = 110°\); \(\angle DCF + \angle DEF = 180°\); \(\angle DCF + 110° = 180°\); \(\angle DCF = 70°\);
Ответ: B.

1. На рисунке изображен четырехугольник MNPQ. Для определения порядка следования вершин, необходимо двигаться по соседним вершинам. В данном случае, порядок следования вершин — QMNP.

2. Для вычисления суммы углов четырехугольника ABCD, используем формулу: \(LA + LB + LC + LD = 360°\), где \(LA\), \(LB\), \(LC\) и \(LD\) — величины углов четырехугольника.

Из условия задачи известно, что \(LA = LB = 90°\), \(LC < 90°\) и \(LD > 90°\). Также, \(LA + LB = 180°\) и \(LC + LD = 180°\).

Таким образом, сумма углов четырехугольника ABCD равна \(90° + 90° + LC + (180° — LC) = 360°\).

3. На рисунке к заданию изображен четырехугольник ABCD.

Ответы:
1. Б
2. Г
3. Рисунок к заданию

4)Решение:

1) В четырехугольнике ABCD:
— Так как AB = BC = BD и AD = CD = BD, то четырехугольник ABCD является ромбом.
— Следовательно, углы ромба равны: \(\angle A = \angle C = 60^\circ\) и \(\angle B = \angle D = 120^\circ\).

2) Для нахождения углов \(\angle LA\), \(\angle LB\), \(\angle LC\) и \(\angle LD\):
— Так как \(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle B = 120^\circ\), то \(\angle LA + \angle LB = 180^\circ\).
— Таким образом, \(\angle LA = 60^\circ\) и \(\angle LB = 120^\circ\).
— Аналогично, \(\angle LC = 60^\circ\) и \(\angle LD = 120^\circ\).

Ответ: \(\angle LA = 60^\circ\), \(\angle LB = 120^\circ\), \(\angle LC = 60^\circ\), \(\angle LD = 120^\circ\).

Решение задачи 5:

Согласно условию, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали делят его на равные треугольники. Рассмотрим данный четырехугольник ABCD:

1. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.
2. Треугольники AOB и COD являются равными, так как они имеют общую сторону BD и равные углы при этой стороне (ΔAOB ≅ ΔCOD).
3. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD делят его на равные треугольники, и данный четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: B.

Решение задачи 6:

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под прямым углом, образуя квадрат. Таким образом, ответ на вопрос: B.

Решение задачи 7:

Дано:
— MN = AC
— ∠BNM = ∠BCA

Необходимо доказать, что MN является средней линией треугольника ABC.

Решение:
1) Так как ∠BNM = ∠BCA, то отрезки MN и AC являются параллельными. Следовательно, MN является средней линией треугольника ABC.

2) Также можно доказать, что MN является средней линией треугольника ABC, используя свойства параллельных прямых:
— Так как ∠BNM = ∠BCA, то MN || AC (секущая ВС)
— Так как ∠BNM = ∠BCA, то ΔBNM ≅ ΔBCA (по двум углам)
— Следовательно, BN = CN и BM = AM
— Таким образом, MN является средней линией треугольника ABC.

Вывод: MN является средней линией треугольника ABC.

Решение задачи 8:

Дано:
— Четырехугольник ABCD, где AB || CD.
— Доказать: ∠A ≠ ∠C, AB || CD.

Решение:
1) В треугольнике ABC:
\(\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ\)
\(\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ — \angle BAC\)

2) В треугольнике ADC:
\(\angle ADC + \angle ACD + \angle DAC = 180^\circ\)
\(\angle ADC + \angle ACD = 180^\circ — \angle DAC\)

3) Так как AB || CD, то \(\angle BAC = \angle ADC\) и \(\angle ABC = \angle ADC\).

4) Следовательно, \(\angle ABC + \angle ACB = \angle ADC + \angle ACD\), откуда \(\angle A \neq \angle C\).

5) Также, так как AB || CD, то \(\angle AB = \angle CD\) и \(\angle AC = \angle BD\), значит AB || CD.

Ответ: ∠A ≠ ∠C, AB || CD.

Решение задачи 9:
Согласно теореме 9.1, если углы одной окружности опираются на одну дугу, то они равны между собой. Таким образом, все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следовательно, все углы данной окружности, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Ответ: B.

Решение задачи 10:

Дано:
— Вписанный четырехугольник CDEF
— \(\angle{CDF} = 80^\circ\)
— \(\angle{DEC} = 30^\circ\)

Найти: \(\angle{DCF}\)

Решение:
1) Рассмотрим окружность, описанную вокруг четырехугольника CDEF:
\(\angle{CDF} = \frac{1}{2}\angle{UCF} = \angle{CEF}\)
\(\angle{CEF} = \angle{CDF} = 80^\circ\)

2) В четырехугольнике CDEF:
\(\angle{DEF} = \angle{CEF} + 2\angle{DEC}\)
\(\angle{DEF} = 80^\circ + 2 \cdot 30^\circ = 110^\circ\)
\(\angle{DCF} + \angle{DEF} = 180^\circ\)
\(\angle{DCF} + 110^\circ = 180^\circ\)
\(\angle{DCF} = 70^\circ\)

Ответ: \(\angle{DCF} = 70^\circ\)