ГДЗ по Геометрии 8 Класс Проверьте себя №2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются двумя данными точками.

2. Постройте треугольник ABC по трем данным точкам: вершине A, ортоцентру H и центру O описанной окружности.

3. Биссектриса угла A остроугольного треугольника ABC перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \(ZA = 60°\).

Указание. Докажите, что \(HA = OA\).
1. На рисунке 169 A₁B₁ ‖ A₂B₂, A₁B₂ ‖ A₂B₁, A₁A₂ =
1
2
A₁A₂. Отсюда следует, что:
A) A₁A₂ = B₂B₃;
B) B₂B₃ = 2B₂B₃;
C) A₁A₃ = B₁B₃;
D) A₁A₂ = B₂B₃.

2. Если медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M, то какое из данных равенств верно для любого треугольника ABC?
A) AM : MB₁ = BM : MA₁;
B) MA₁ =
1
2
AM;
C) MA =
1
2
MB₁;
D) MB₁ =
1
2
BB₁.

3. На рисунке 170 AC ‖ AC. Тогда:
A) AG = BA;
AC AA’
B) BC = AC;
AC AC’
C) BA = CB;
AB BC’
D) AC = BA.
AB

4. В треугольнике ABC известно, что AB = 8 см, BC = 4 см, AC = 9 см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису BB₁, считая от вершины B?
A) 2 : 3;
B) 2 : 1;
C) 4 : 3;
D) 3 : 4.

5. Через точку M стороны BC параллелограмма ABCD проведена прямая, параллельная стороне CD. Эта прямая пересекает отрезки BD и AD в точках K и F соответственно. Известно, что BM : FD = 2 : 1. Чему равно отношение KD : BK?
A) 2 : 1;
Б) 1 : 2;
B) 1 : 3;
D) 4 : 1.
6. В треугольнике ABC известно, что AB = 14 см, BC = 21 см. На стороне AB на расстоянии 4 см от вершины A отмечена точка D, через которую проведена прямая, параллельная стороне AC. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону BC.
A) 12 см, 9 см;
Б) 18 см, 3 см;
B) 15 см, 6 см;
Г) 14 см, 7 см.

7. Отрезок MN, проведенный через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции ABCD, параллелен ее основаниям (рис. 171). Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?
A) 4;
Б) 6;
B) 3;
Г) 5.

8. Через вершины A и C неравнобедренного треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает стороны BA и BC в точках E и D соответственно (рис. 172). Какое из данных равенств является верным?
A) \(\frac{BE}{BD} = \frac{BC}{BA}\);
Б) \(\frac{DE}{BD} = \frac{AC}{BC}\);
B) \(\frac{DE}{BD} = \frac{BD}{BC}\);
Г) \(\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC}\).

9. Хорда AB пересекает хорду CD в ее середине и делится этой точкой на отрезки, равные 4 см и 25 см. Найдите хорду CD.
A) 10 см;
Б) 5 см;
B) 100 см;
Г) 20 см.

10. В треугольнике ABC известно, что AB = 10 см, BC = 4 см, CA = 8 см. На стороне AC отметили точку D такую, что AD = 6 см. Найдите отрезок BD.
A) 5 см;
Б) 4 см;
B) 6 см;
Г) 7 см.

1) На рисунке 169 A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃ и A₁A₂ = \(\frac{1}{2}\)A₁A₃. Тогда: B₁B₂ : B₁B₃ = 1 : 2, B₂B₃ : B₁B₃ = 2 : 1, B₂B₃ : B₁B₂ = 4 : 1.

2) Решение:
В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1, доказать, что \(MA1 = \frac{1}{2}AM\).
Согласно свойствам медиан, \(AM = 2MA1\) и \(BM = 2MB1\). Так как АА1 и ВВ1 — медианы, то \(AA1 \perp BC\) и \(BB1 \perp AC\), следовательно, \(AA1 \parallel BB1\), и треугольники АМА1 и ВМВ1 подобны. Из подобия треугольников следует, что \(AM : MA1 = BM : MB1 = 2 : 1\), таким образом, \(MA1 = \frac{1}{2}AM\).
Ответ: В.

3) Решение:
1) Для AC и A₁C₁ и секущей AB: AC || A₁C₁, ∠BAC = ∠BA₁C₁;
2) Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁BC₁: ∠ABC = ∠A₁BC₁, ∠BAC = ∠BA₁C₁; ∆ABC ∼ ∆A₁BC₁, BC₁/BC = A₁C₁/AC — первый признак.
Ответ: В.

4) Решение:
1) В треугольнике ABC: \(\frac{AB_1}{AB} = \frac{CB_1}{BC}\), где AB = 8 см и BC = 4 см, тогда \(AB_1 = 2CB_1\).
2) Найдем длину CB_1: \(2CB_1 + CB_1 = 9 \Rightarrow CB_1 = 3\).
3) Тогда \(AB_1 = 2CB_1 = 2 \cdot 3 = 6\).
4) Длина AC = AB_1 + CB_1 = 6 + 3 = 9.
5) Отношение BO/OB_1 = AB/AB_1 = 8/6 = 4/3.

Ответ: \(\frac{BO}{OB_1} = \frac{4}{3}\).

5) Решение:
1) В параллелограмме MCDF: MC = FD;
2) В параллелограмме ABCD: BM/MC = FD/BM = 2, BM = 2MC;
3) В треугольнике BCD: MK || CD, KD/BK = MC/BM = 1/2.
Ответ: KD/BK = 1/2.

6) В треугольнике ABC: AB = 14 см, BC = 21 см, AD = 4 см, DE || AC. Найдём BE и CE.

BD = AB — AD = \(14 — 4 = 10\) см.
\(\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{BA}\), \(\frac{BE}{21} = \frac{4}{10}\), BE = \(\frac{4}{10} \cdot 21 = 8.4\) см.
CE = BC — BE = \(21 — 8.4 = 12.6\) см.

Ответ: BE = 8.4 см, CE = 12.6 см.

7) Ответ: Г.

Решение:
1) Дано: четырехугольник ABCD — трапеция, ВС || AD, MN.
2) Из условия имеем: LEAD = LECB, LAED = LCEB — первый признак подобия треугольников.
3) В треугольнике ABD ME || AD, следовательно, AMBE~AABD — лемма о подобии.
4) В треугольнике DCA NE || AD, следовательно, ANCE~ADCA — лемма о подобии.
5) В треугольнике ABC ME || BC, следовательно, DAME~DABC — лемма о подобии.
6) В треугольнике DCB NE || BC, следовательно, ADNE~ADCB — лемма о подобии.

8) Решение: Рассмотрим окружность. Докажем, что \(BE/BC = BD/BA\). Хорды \(AE\) и \(CD\) пересекаются в точке \(B\), поэтому \(AE \cap CD = B\). Согласно свойству хорд, \(BA \cdot BE = BC \cdot BD\), откуда \(BE/BC = BD/BA\). Ответ: Б.

9) Дано: AB, CD — хорды; AM = 25 см; ВМ = 4 см; CM = DM.
Решение: Согласно свойству хорд окружности, \(AM \cdot BM = CM \cdot DM\). Подставляя известные значения, получаем \(CM^2 = 100\), откуда \(CM = 10\). Следовательно, \(CD = CM + DM = 20\) см.
Ответ: Г.

10) Решение:
Рассмотрим ΔАВС и ΔАВС: CD = AC — AD = 2; ∠ACB = ∠BCD;
\(
\frac{CD}{AC} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad \frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}
\)
Так как ΔАВС ∼ ΔАВС — второй признак подобия треугольников, то \(BD = \frac{1}{2}AB = 5\).
Ответ: А.

1) Решение задачи:

Дано:
На рисунке 169 треугольники A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, и отрезок A₁A₂ = \(\frac{1}{2}\)A₁A₃.

Требуется найти:
1. Отношение B₁B₂ к B₁B₃
2. Отношение B₂B₃ к B₁B₃
3. Отношение B₂B₃ к B₁B₂

Решение:

1. Отношение B₁B₂ к B₁B₃:
Из подобия треугольников A₁B₁A₂ и A₁B₁A₃ имеем:
\(A₁B₁ : A₁A₃ = A₂B₂ : A₂A₃\)
Умножая обе части на A₁A₃, получаем:
\(A₁B₁ \cdot A₂A₃ = A₁A₃ \cdot A₂B₂\)
Разделив обе части на A₁A₃, получаем:
\(B₁B₂ = \frac{1}{2} \cdot B₁B₃\)
Следовательно, \(B₁B₂ : B₁B₃ = 1 : 2\).

2. Отношение B₂B₃ к B₁B₃:
Из подобия треугольников A₂B₂A₃ и A₁B₁A₃ имеем:
\(A₂B₂ : A₂A₃ = A₁B₁ : A₁A₃\)
Умножая обе части на A₂A₃, получаем:
\(A₂B₂ \cdot A₁A₃ = A₂A₃ \cdot A₁B₁\)
Разделив обе части на A₁A₃, получаем:
\(B₂B₃ = 2 \cdot B₁B₃\)
Следовательно, \(B₂B₃ : B₁B₃ = 2 : 1\).

3. Отношение B₂B₃ к B₁B₂:
Из пункта 1 имеем \(B₁B₂ = \frac{1}{2} \cdot B₁B₃\)
Из пункта 2 имеем \(B₂B₃ = 2 \cdot B₁B₃\)
Следовательно, \(B₂B₃ : B₁B₂ = 2 \cdot B₁B₃ : \frac{1}{2} \cdot B₁B₃ = 4 : 1\).

2) Решение:

Дано: в треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1.

Доказать: \(MA1 = \frac{1}{2}AM\).

Доказательство:
1. Проведем медианы АА1 и ВВ1 в треугольнике АВС.
2. Точка пересечения медиан М является центром масс треугольника.
3. Согласно свойствам медиан, \(AM = 2MA1\) и \(BM = 2MB1\).
4. Так как АА1 и ВВ1 — медианы, то \(AA1 \perp BC\) и \(BB1 \perp AC\).
5. Следовательно, \(AA1 \parallel BB1\), и треугольники АМА1 и ВМВ1 подобны.
6. Из подобия треугольников следует, что \(AM : MA1 = BM : MB1 = 2 : 1\).
7. Таким образом, \(MA1 = \frac{1}{2}AM\).

Ответ: В.

3) Дано: отрезки AC и A₁C₁ параллельны.

Доказать: BC/BC₁ = AC/A₁C₁

Решение:

1) Рассмотрим секущую прямую AB, пересекающую параллельные прямые AC и A₁C₁. Согласно свойству параллельных прямых, углы ∠BAC и ∠BA₁C₁ равны, так как они накрест лежащие.

2) Далее рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆A₁BC₁. Так как углы ∠ABC и ∠A₁BC₁ равны, как вертикальные, и углы ∠BAC и ∠BA₁C₁ равны, как накрест лежащие, то по первому признаку подобия треугольников, треугольники ∆ABC и ∆A₁BC₁ подобны.

3) Из свойств подобных треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно, то есть \(BC/BC₁ = AC/A₁C₁\).

Таким образом, доказано, что BC/BC₁ = AC/A₁C₁.

4) Решение:

1) В треугольнике ABC находим соотношение сторон по теореме о биссектрисе:
\(\frac{AB_1}{AB} = \frac{CB_1}{BC}\)
Так как AB = 8 см и BC = 4 см, то:
\(\frac{AB_1}{8} = \frac{CB_1}{4}\)
Отсюда получаем:
\(AB_1 = 2CB_1\)

2) Найдем длину отрезка CB_1:
\(2CB_1 + CB_1 = 9\)
\(3CB_1 = 9\)
\(CB_1 = 3\)

3) Тогда длина отрезка AB_1 будет:
\(AB_1 = 2CB_1 = 2 \cdot 3 = 6\)

4) Находим длину отрезка AC:
\(AC = AB_1 + CB_1 = 6 + 3 = 9\)

5) Теперь можем найти отношение BO/OB_1:
\(\frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Ответ: \(\frac{BO}{OB_1} = \frac{4}{3}\).

5) Дано:
Параллелограмм ABCD, MF || CD, BM : FD = 2 : 1.
Требуется найти: KD : BK.

Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD, параллельны и равны.
2) Так как MF || CD, то треугольники MFC и MFD подобны. Следовательно, \(MC = FD\).
3) Так как BM : FD = 2 : 1, то \(BM = 2FD\) и \(BM = 2MC\).
4) Рассмотрим треугольник BCD. Так как MK || CD, то \(KD/BK = MC/BM\).
5) Подставляя значения, получаем: \(KD/BK = MC/BM = MC/(2MC) = 1/2\).

Ответ: \(KD/BK = 1/2\).

6) Решение задачи:

В треугольнике ABC:
AB = 14 см, BC = 21 см, AD = 4 см, DE || AC.

Требуется найти: BE и CE.

Решение:
1. Найдем длину BD:
BD = AB — AD = 14 — 4 = 10 см.

2. Используя свойство параллельных прямых, найдем отношение отрезков:
\(\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{BA}\)

3. Подставим известные значения:
\(\frac{BE}{21} = \frac{4}{10}\)

4. Решим уравнение:
BE = \(\frac{4}{10} \cdot 21\) = 8.4 см

5. Найдем длину CE:
CE = BC — BE = 21 — 8.4 = 12.6 см

Ответ: BE = 8.4 см, CE = 12.6 см.

7) Решение:

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, где ВС || AD и MN. Также известно, что LEAD = LECB и LAED = LCEB.

Шаг 1: Определение первого признака подобия треугольников.
Из условия следует, что LEAD = LECB и LAED = LCEB, что соответствует первому признаку подобия треугольников: равенство двух пар соответственных углов.

Шаг 2: Применение леммы о подобии в треугольнике ABD.
В треугольнике ABD прямая ME является параллельной стороне AD, следовательно, по лемме о подобии треугольников, AMBE~AABD.

Шаг 3: Применение леммы о подобии в треугольнике DCA.
В треугольнике DCA прямая NE является параллельной стороне AD, следовательно, по лемме о подобии треугольников, ANCE~ADCA.

Шаг 4: Применение леммы о подобии в треугольнике ABC.
В треугольнике ABC прямая ME является параллельной стороне BC, следовательно, по лемме о подобии треугольников, DAME~DABC.

Шаг 5: Применение леммы о подобии в треугольнике DCB.
В треугольнике DCB прямая NE является параллельной стороне BC, следовательно, по лемме о подобии треугольников, ADNE~ADCB.

Таким образом, ответ Г. соответствует примеру.

8) Дано: окружность с точками \(A\), \(C\) на ней.

Доказать: \(BE/BC = BD/BA\).

Решение:
1. Рассмотрим хорды \(AE\) и \(CD\), которые пересекаются в точке \(B\). Согласно свойству хорд, \(AE \cap CD = B\).
2. Применим теорему о пропорциональности отрезков, пересекаемых хордами: \(BA \cdot BE = BC \cdot BD\).
3. Разделив обе части равенства, получим: \(BE/BC = BD/BA\).

Ответ: Б.

9) Решение задачи:

Дано:
AB, CD — хорды окружности;
AM = 25 см;
ВМ = 4 см;
CM = DM.

Найти: CD

Решение:
Рассмотрим окружность, в которой AB и CD — хорды, пересекающиеся в точке M.

Согласно свойству хорд окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\(AM \cdot BM = CM \cdot DM\)

Подставляя известные значения, получаем:
\(25 \cdot 4 = CM \cdot CM\)
\(CM^2 = 100\)
\(CM = 10\)

Теперь найдем длину хорды CD:
\(CD = CM + DM = 10 + 10 = 20\)

Таким образом, длина хорды CD равна 20 см.

10) Дано:
— Треугольник ABC с сторонами AB = 10 см, BC = 4 см, CA = 8 см
— Точка D на стороне AC, AD = 6 см
— Требуется найти длину отрезка BD

Решение:
1. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔADC.
2. Так как CD = AC — AD = 8 — 6 = 2 см, то можно записать пропорцию:
\(
\frac{CD}{AC} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\)
3. Аналогично, для треугольника ΔABD:
\(
\frac{BD}{AB} = \frac{x}{10}
\)
4. Так как треугольники ΔABC и ΔADC подобны (второй признак подобия треугольников), то можно записать:
\(
\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}
\)
5. Подставляя значения, получаем:
\(
\frac{x}{10} = \frac{1}{4}
\)
6. Решая уравнение, находим:
\(
x = \frac{10}{4} = 2.5
\)
7. Таким образом, длина отрезка BD равна 2.5 см.

Ответ: А.