ГДЗ по Геометрии 8 Класс Проверьте себя №3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Диаметр \(AB\) окружности с центром \(O\) перпендикулярен хорде \(CD\) (рис. 191). Какое из данных равенств неверно?
A) \(AC^2 = AM \cdot AB\);
Б) \(CM^2 = AM \cdot MB\);
В) \(AD^2 = MB \cdot AB\);
Г) \(DM^2 = AM \cdot MB\).

2. На каком рисунке длина отрезка \(x\) равна \(2a\)?
A)
Б)
В)
Г)

3. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза:
А) равна сумме катетов;
Б) равна сумме квадратов катетов;
В) больше катета;
Г) равна квадрату суммы катетов.

4. Длина отрезка \(x\) на рисунке 192 равна:
A) \(4\);
Б) \(3\);
В) \(5\);
Г) \(3\sqrt{2}\).

5. Биссектриса равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна:
А) \(\frac{a}{\sqrt{3}}\);
Б) \(\frac{a}{2}\);
В) \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\);
Г) \(a\sqrt{3}\).

6. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \(a\), равен:
А) \(\frac{a}{2}\);
Б) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\);
В) \(\frac{a}{2\sqrt{2}}\);
Г) \(2a\).
7. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна \(a\). Тогда его катет равен:
А) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\);
Б) \(a/2\);
В) \(2a\);
Г) \(\frac{a}{2}\).

8. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы прямоугольного неравнобедренного треугольника. Какое из данных равенств верно?
A) \(\sin \alpha \cdot \tan \alpha = \cos \alpha\);
Б) \(\sin \alpha \cdot \tan \beta = \cos \beta\);
В) \(\sin \alpha = \tan \beta\);
Г) \(\cos \alpha — \tan \beta = \sin \beta\).

9. Пусть \(\alpha\) — острый угол прямоугольного треугольника. Какое из данных равенств не может выполняться?
А) \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\);
Б) \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\);
В) \(\sin \alpha = 1\);
Г) \(\sin \alpha = -\frac{2}{\sqrt{13}}\).

10. Длина отрезка \(x\) на рисунке 193 равна:
А) \(\frac{\sqrt{2}}{2} a \sin \alpha\);
Б) \(\frac{a}{2} \cos \alpha\);
В) \(\frac{\sqrt{2}}{2} a\);
Г) \(a\sqrt{2} \tan \alpha\).

1) Решение:

1) Рассмотрим окружность: диаметр АВ; \(\angle АСВ = \angle АDB = 90^\circ\);
2) В прямоугольном \(\triangle АСВ\): \(АС^2 = АМ \cdot АВ\);
\(СМ^2 = АМ \cdot МВ\);
3) В прямоугольном \(\triangle АDB\): \(DM^2 = АМ \cdot МВ\).
Ответ: В.

2) Длина отрезка x:
А) \(x^2 = a \cdot 2a = 2a^2, x = \sqrt{2}a\)
Б) \(x^2 = a \cdot 4a = 4a^2, x = 2a\)
Ответ: Б

3) Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза больше каждого катета (\(c^2 = a^2 + b^2, c > a, c > b\)).
Ответ: В

4) В прямоугольном треугольнике ADAC: \(CD^2 = AD^2 + AC^2\), где \(AC = 5\).
В прямоугольном треугольнике ABC: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), где \(AB = 3\).

Ответ: AB = 3.

5)

1) ΔАВС — равносторонний треугольник, поэтому ВН — биссектриса, высота и медиана.
2) В прямоугольном ΔАВН: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), где \(a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + BH^2\), \(BH^2 = \frac{3a^2}{4}\), \(BH = \frac{\sqrt{3}a}{2}\).
Ответ: \(BH = \frac{\sqrt{3}a}{2}\).

6) Согласно условию, ABCD — квадрат, и радиус описанной окружности равен R = OA = OB = OC = OD. В квадрате ABCD диагональ AC = √2a, где a — сторона квадрата. Таким образом, искомая длина OA = \(
\frac{a}{\sqrt{2}}
\).

7) Решение:

ΔABC — равнобедренный: AC = BC = x; AB² = AC² + BC² = 2x²; AB = x√2; CH — высота и медиана; AH = BH = 1/2 AB = x√2/2; CH² = AH * BH; x² = 2a², x = a√2.
Ответ: x = a√2.

8)

Дано: \(\angle ACB = 90^\circ\), \(LA = a\), \(LB = b\)
Требуется доказать: \(\sin a \cdot \tan b = \sin b\)
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC:
\(\sin a = \frac{BC}{AB}\)
\(\sin b = \frac{AC}{AB}\)
\(\tan b = \frac{AC}{BC}\)
Умножая первое равенство на \(\tan b\), получаем:
\(\sin a \cdot \tan b = \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB} = \sin b\)
Таким образом, доказано, что \(\sin a \cdot \tan b = \sin b\).
Ответ: B.

9) Ответ: Г.

Решение:
Дано: \(Zab = 90°, Zbc = a, \sin a = \sin Zbc\)
Условия:
1. \(a < c\) 2. \(\sin a < 1\) 3. \(3 < \sqrt{4}\) 4. \(\sqrt{3} < 2\) 5. \(\frac{2}{\sqrt{3}} > 1\)

Таким образом, все условия выполняются, и ответ соответствует варианту Г.

10) Решение:

1) В прямоугольном ΔACB:
\(BC = AC \cdot \tan A = a \tan a\)
2) В прямоугольном ΔACDB:
\(BD = BC \cdot \sin C = a\sqrt{2} \tan a\)
Ответ: \(BD = a\sqrt{2} \tan a\)

1) Дано: диаметр окружности АВ, прямая CD параллельна диаметру АВ.

Решение:
1) Рассмотрим окружность с диаметром АВ. Так как АВ — диаметр, то \(\angle АСВ = \angle АDB = 90^\circ\).
2) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle АСВ\). Согласно теореме Пифагора, \(АС^2 = АМ \cdot АВ\), где М — точка пересечения диагонали АВ и перпендикуляра, опущенного из точки С.
3) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle СМВ\). Согласно теореме Пифагора, \(СМ^2 = АМ \cdot МВ\).
4) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle АDB\). Согласно теореме Пифагора, \(DM^2 = АМ \cdot МВ\).
Ответ: В.

2) Длина отрезка x:
А) Дано: \(x^2 = a \cdot 2a = 2a^2\). Для нахождения длины отрезка x необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения: \(x = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}a\).
Б) Дано: \(x^2 = a \cdot 4a = 4a^2\). Для нахождения длины отрезка x необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения: \(x = \sqrt{4a^2} = 2a\).
Ответ: Б

3) Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза \(c\) больше каждого катета \(a\) и \(b\), то есть \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c > a\) и \(c > b\).
Ответ: В

4) Дано: в прямоугольном треугольнике ABC, \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle ADC = 90^\circ\), \(AD = 12\), \(CD = 13\), \(BC = 4\). Требуется найти длину стороны \(AB\).

Решение:
1) Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ADAC:
\(CD^2 = AD^2 + AC^2\)
\(13^2 = 12^2 + AC^2\)
\(169 = 144 + AC^2\)
\(AC^2 = 25\)
\(AC = 5\)

2) Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(5^2 = AB^2 + 4^2\)
\(25 = AB^2 + 16\)
\(AB^2 = 9\)
\(AB = 3\)

Ответ: \(AB = 3\).

5) Дано: треугольник ΔАВС, где АВ = а — сторона равностороннего треугольника, ВН — биссектриса.

Решение:
1) Так как ΔАВС — равносторонний, то углы в нем равны 60°. Следовательно, ВН является биссектрисой, высотой и медианой треугольника.
2) Для нахождения длины ВН воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном ΔАВН:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
где \(AB = a\), \(AH = \frac{a}{2}\)
Подставляя, получаем:
\(a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + BH^2\)
Решая это уравнение, находим:
\(BH^2 = \frac{3a^2}{4}\)
\(BH = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Ответ: \(BH = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

6) Дано: квадрат ABCD со стороной AB = a и описанной окружностью. Требуется найти длину отрезка OA.

Решение:
1) Рассмотрим свойства квадрата ABCD: все стороны равны, то есть AB = BC = CD = DA = a.
2) Радиус описанной окружности равен длине отрезка OA, OB, OC или OD, то есть R = OA = OB = OC = OD.
3) Диагональ AC квадрата ABCD равна \(\sqrt{2}a\), так как в прямоугольном треугольле АОС гипотенуза АС равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a\).
4) Таким образом, длина отрезка OA равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\), где a — сторона квадрата ABCD.
Ответ: \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).

7) Дано: ΔABC — равнобедренный, CH — высота, ∠ACB = 90°, CH = a.

Решение:
1) Так как ΔABC — равнобедренный, то AC = BC = x.
2) Согласно теореме Пифагора, AB² = AC² + BC² = 2x².
3) Следовательно, AB = x√2.
4) Так как CH — высота и медиана, то AH = BH = 1/2 AB = x√2/2.
5) Используя формулу для площади прямоугольного треугольника, получаем: CH² = AH * BH = (x√2/2)².
6) Решая уравнение CH² = (x√2/2)², находим x² = 2a², откуда x = a√2.
Ответ: x = a√2.

8)

Дано: \(\angle ACB = 90^\circ\), \(LA = a\), \(LB = b\)
Требуется доказать: \(\sin a \cdot \tan b = \sin b\)

Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
\(\sin a = \frac{BC}{AB}\)
Это означает, что отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB равно синусу угла a.

Аналогично, из определения синуса:
\(\sin b = \frac{AC}{AB}\)
Отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB равно синусу угла b.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:
\(\tan b = \frac{AC}{BC}\)
Отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC равно тангенсу угла b.

Теперь умножим первое равенство на \(\tan b\):
\(\sin a \cdot \tan b = \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB}\)
Правая часть этого равенства равна \(\sin b\) по определению синуса.
Таким образом, мы доказали, что \(\sin a \cdot \tan b = \sin b\).
Ответ: B.

9) Дано:
— \(Zab = 90°\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\) равен 90 градусам
— \(Zbc = a\) — угол между сторонами \(b\) и \(c\) равен стороне \(a\)
— \(\sin a = \sin Zbc\) — синус угла \(a\) равен синусу угла \(Zbc\)

Условия:
1. \(a < c\) - сторона \(a\) меньше стороны \(c\) 2. \(\sin a < 1\) - синус угла \(a\) меньше 1 3. \(3 < \sqrt{4}\) - 3 меньше квадратного корня из 4 4. \(\sqrt{3} < 2\) - квадратный корень из 3 меньше 2 5. \(\frac{2}{\sqrt{3}} > 1\) — дробь 2 делённая на квадратный корень из 3 больше 1
Таким образом, все условия выполняются, и ответ соответствует варианту Г.

10) Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle CDB = 90^\circ\), \(AC = a\), \(\angle CAB = a\), \(\angle BCD = 45^\circ\).
Найти: BD.

Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Согласно определению тангенса угла, имеем: \(BC = AC \cdot \tan \angle A = a \cdot \tan a\).
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Согласно определению синуса угла, имеем: \(BD = BC \cdot \sin \angle C = a \cdot \tan a \cdot \sin 45^\circ = a \cdot \tan a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a \cdot \sqrt{2} \cdot \tan a}{2}\).

Ответ: \(BD = \frac{a \cdot \sqrt{2} \cdot \tan a}{2}\).