ГДЗ по Геометрии 8 Класс Проверьте себя №4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите, что:
1) медианы треугольника конкурентны;
2) биссектрисы треугольника конкурентны;
3) высоты остроугольного треугольника конкурентны.

2. Пусть \(A_1, B_1, C_1\) — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами \(BC, AC, AB\) треугольника \(ABC\). Докажите, что чевианы \(AA_1, BB_1\) и \(CC_1\) конкурентны.

3. Прямые \(AP, BP\) и \(CP\) пересекают стороны треугольника \(ABC\) в точках \(A_1, B_1\) и \(C\), соответственно. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон \(BC, CA\) и \(AB\) параллельно прямым \(AP, BP\) и \(CP\) соответственно, конкурентны.
Указание. Примените теорему Чевы к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника \(ABC\).

1. Сколько сторон в выпуклом \(n\)-угольнике, если сумма его углов равна \(1260°\)? А) \(7\); Б) \(9\); В) \(11\); Г) \(13\).

2. В выпуклом \(n\)-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов? А) \(1000°\); Б) \(800°\); В) \(900°\); Г) \(720°\).

3. Как изменится площадь прямоугольника, если каждую из его сторон уменьшить в 10 раз? А) Уменьшится в 100 раз; Б) уменьшится в 20 раз; В) уменьшится в 10 раз; Г) уменьшится в 1000 раз.

4. Площадь параллелограмма равна \(80 \text{ см}^2\), а одна из его сторон — \(16 \text{ см}\). Какой длины может быть соседняя сторона параллелограмма? А) \(2 \text{ см}\); Б) \(3 \text{ см}\); В) \(4 \text{ см}\); Г) \(6 \text{ см}\).

5. На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) отметили точку \(M\) так, что \(BM : MC = 1 : 3\). Чему равна площадь треугольника \(ABM\), если площадь параллелограмма равна \(S\)? А) \(\frac{S}{16}\); Б) \(\frac{S}{4}\); В) \(\frac{S}{8}\); Г) \(\frac{S}{3}\).

6. На рисунке 236 площадь каждого из маленьких квадратов равна \(4 \text{ см}^2\). Чему равна площадь большого квадрата? А) \(16 \text{ см}^2\); Б) \(20 \text{ см}^2\); В) \(32 \text{ см}^2\); Г) \(40 \text{ см}^2\).
7. В окружность радиуса \(1 \text{ см}\) вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади данного треугольника к площади квадрата? А) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\); Б) \(\frac{3\sqrt{3}}{3}\); В) \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\); Г) \(\frac{3\sqrt{3}}{3.8}\).

8. Точки \(O_1\) и \(O_2\) — центры равных окружностей, имеющих только одну общую точку (рис. 237), \(BO_2 \perp O_1O_2\), \(AB = 10 \text{ см}\). Чему равна площадь треугольника \(ABO_2\)? А) \(10 \text{ см}^2\); Б) \(15 \text{ см}^2\); В) \(18 \text{ см}^2\); Г) \(20 \text{ см}^2\).

9. Даны две точки \(A\) и \(B\). Геометрическим местом точек \(X\) таких, что площади треугольников \(AXB\) равны данному числу \(S\), является: А) окружность с диаметром \(AB\); Б) серединный перпендикуляр отрезка \(AB\); В) прямая, параллельная \(AB\); Г) две прямые, параллельные \(AB\).

10. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят ее среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если ее большее основание равно \(12 \text{ см}\)? А) \(50 \text{ см}^2\); Б) \(64 \text{ см}^2\); В) \(81 \text{ см}^2\); Г) \(144 \text{ см}^2\).

1. Сумма углов n-угольника: \(S = 180°(n-2) = 1260°;\) \(n — 2 = 7, n = 7 + 2 = 9;\) Ответ: Б.

2. Число диагоналей n-угольника: \(d = \frac{1}{2}(n-3) \cdot n = 14;\) \(n^2 — 3n = 28;\) \(n^2 — 3n — 28 = 0;\) \(D^2 = 3^2 + 4 \cdot 28 = 121;\) \(n = \frac{3 + 11}{2} = 7;\) \(S = 180°(7-2) = 900°;\) Ответ: В.

3. Пусть a, b — стороны прямоугольника: \(a’ = \frac{1}{10}a, b’ = \frac{1}{10}b, s = ab;\) \(s’ = a’b’ = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = \frac{ab}{100};\) Ответ: А.

4. Пусть a, b — стороны параллелограмма и h_a — его высота, проведенная к стороне a: \(a = 16 \text{ cm}, S = 80 \text{ cm}^2, b > h_a;\) \(\frac{S}{a} = h_a, \frac{80}{16} = 5;\) Ответ: Г.

5. Решение:
1) В параллелограмме ABCD: \(MC = 3BM, BC = BM + MC; BC = BM + 3BM = 4BM;\)
\( S_{ABCD} = BC \cdot AH = S\)
2) В треугольнике АВМ: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} AH \cdot BM\)

Ответ: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{4} = \frac{S}{8}\)

6. Пусть \(a\) — сторона каждого маленького квадрата и \(b\) — сторона большого квадрата:
\(S_м = 4 см^2\), \(b^2 = (3a)^2 + a^2\);
\(S_м = a^2 = 4\), \(a = 2\);
\(b^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40\);
\(S_б = b^2 = 40\);
Ответ: Г.

7. Пусть \(R\) — радиус этой окружности, \(a\) — сторона квадрата и \(b, h\) — сторона и высота треугольника:

\(h^2 = b^2 — (\frac{1}{2}b)^2 = b^2 — \frac{b^2}{4} = \frac{3b^2}{4}\), \(h = \frac{b\sqrt{3}}{2}\);

\(R = \frac{2}{3}h = \frac{b\sqrt{3}}{3}\), \(b = \frac{3R}{\sqrt{3}}\), \(h = \frac{3R}{2}\);

\(a^2 + a^2 = (2R)^2\), \(a^2 = 2R^2\), \(a = R\sqrt{2}\);

\(S_т = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot \frac{3R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{9R^2}{4\sqrt{3}}\), \(S_к = a^2 = 2R^2\);

\(\frac{S_т}{S_к} = \frac{9R^2}{4\sqrt{3}} : 2R^2 = \frac{9}{8\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\);

Ответ: Г.

8. Дано:

\(O_1, O_2\) — ц. окр;
\(R_1 = R_2 = R\);
\(BO_2 \perp O_1O_2\);
\(AB = 10\) см;
Найти:
\(S_{AB_2}\);

Решение:
1) Рассмотрим окружности:
\(O_1A = O_1C = O_2C = O_2B = R\);
\(AO_2 = AO_1 + O_1C + O_2C = 3R\);
2) В прямоугольном \(\triangle ABO_2\):
\(AB^2 = (AO_2)^2 + (BO_2)^2\);
\(10^2 = (3R)^2 + R^2\);
\(10R^2 = 10^2\);
\(R^2 = 10, R = \sqrt{10}\);

\(S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot AO_2 \cdot BO_2\);

\(S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 15\);

Ответ: Б.

9. Даны две точки А и В, геометрическим местом точек Х таких, что площади треугольников АХВ равны данному числу S, являются две прямые, параллельные АВ (все эти треугольники имеют общее основание и их высоты равны);

Ответ: Г.

10.
Дано:
ABCD – трапец;
BH – высота;
MN – ср.линия;
BD ⊥ AC;
AB = CD;
ME = EF = FN;
AD = 12 см;

Найти:
\(S_{ABCD}\);

Решение:
1) В трапеции ABCD:
AB = CD, AC = BD;
AO = OD, BO = OC;
MN ∥ BC, AM = BM;
\(MN = \frac{1}{2}(AD + BC)\);

2) В треугольнике АВС:
ME ∥ BC, AM = BM;
МЕ – средняя линия;

\(ME = \frac{1}{2}BC\);

\(MN = 3ME = \frac{3}{2}BC\);

\(\frac{3}{2}BC = \frac{1}{2}(12 + BC)\);

3BC = 12 + BC;

2BC = 12, BC = 6;

3) ΔВОС равнобедренный:
\(\sin \angle B = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin \angle B = \frac{OC}{BC}\);

\(OC = BC \cdot \sin \angle B = 3\sqrt{2}\);

4) ΔAOD равнобедренный:
\(\sin \angle D = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin \angle D = \frac{AO}{AD}\);

\(AO = AD \cdot \sin \angle D = 6\sqrt{2}\);

5) В прямоугольном ΔBHD:
\(DH = \frac{1}{2}(AD + BC) = MN\);

\(DH = MN = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9\);

\(BD = AC = AO + OC = 9\sqrt{2}\);

\(BD^2 = BH^2 + DH^2\);

\((9\sqrt{2})^2 = BH^2 + 9^2\);

162 = BH² + 81;

BH² = 81, BH = 9;

6) В трапеции АВСD:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH\);

\(S_{ABCD} = MN \cdot BH = 9 \cdot 9 = 81\);

Ответ: В.

1. Сумма углов n-угольника: \(S = 180°(n-2) = 1260°;\) \(n — 2 = 7, n = 7 + 2 = 9;\) Ответ: Б.

2. Число диагоналей n-угольника: \(d = \frac{1}{2}(n-3) \cdot n = 14;\) \(n^2 — 3n = 28;\) \(n^2 — 3n — 28 = 0;\) \(D^2 = 3^2 + 4 \cdot 28 = 121;\) \(n = \frac{3 + 11}{2} = 7;\) \(S = 180°(7-2) = 900°;\) Ответ: В.

3. Пусть a, b — стороны прямоугольника: \(a’ = \frac{1}{10}a, b’ = \frac{1}{10}b, s = ab;\) \(s’ = a’b’ = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = \frac{ab}{100};\) Ответ: А.

4. Пусть a, b — стороны параллелограмма и h_a — его высота, проведенная к стороне a: \(a = 16 \text{ cm}, S = 80 \text{ cm}^2, b > h_a;\) \(\frac{S}{a} = h_a, \frac{80}{16} = 5;\) Ответ: Г.

5. Дано: параллелограмм ABCD, высота АН, соотношение сторон BM:MC = 1:3, площадь параллелограмма SABCD = S.

Решение:
1) Найдем длину стороны BC параллелограмма ABCD. Так как BM:MC = 1:3, то MC = 3BM. Следовательно, BC = BM + MC = BM + 3BM = 4BM.
2) Площадь параллелограмма ABCD вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = BC \cdot AH = 4BM \cdot AH = S\).
3) Площадь треугольника ABM вычисляется по формуле: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} AH \cdot BM\).
4) Подставляя значение площади параллелограмма ABCD, получаем: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{4BM} = \frac{S}{8}\).

Ответ: \(S_{ABM} = \frac{S}{8}\).

6. Дано: площадь маленького квадрата \(S_м = 4\) см², нужно найти площадь большого квадрата.

Из площади маленького квадрата находим его сторону:
\(S_м = a^2 = 4\) см²
\(a = \sqrt{4} = 2\) см

Анализируем геометрию фигуры. Большой квадрат составлен из маленьких квадратов, расположенных в виде креста. По диагонали большого квадрата располагается 3 маленьких квадрата в одном направлении и 1 маленький квадрат в перпендикулярном направлении.

Сторона большого квадрата \(b\) связана с стороной маленького квадрата \(a\) через теорему Пифагора:
\(b^2 = (3a)^2 + a^2\)

Подставляем найденное значение \(a = 2\):
\(b^2 = (3 \cdot 2)^2 + 2^2\)
\(b^2 = 6^2 + 2^2\)
\(b^2 = 36 + 4 = 40\)

Площадь большого квадрата равна:
\(S_б = b^2 = 40\) см²

Ответ: Г.

7. Дано: окружность с радиусом \(R\), в которую вписаны равносторонний треугольник и квадрат. Нужно найти отношение их площадей.

Начнем с равностороннего треугольника. Пусть \(b\) — сторона треугольника, \(h\) — его высота.

Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону по теореме Пифагора:
\(h^2 = b^2 — (\frac{b}{2})^2 = b^2 — \frac{b^2}{4} = \frac{3b^2}{4}\)
\(h = \frac{b\sqrt{3}}{2}\)

Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность, радиус связан с высотой соотношением:
\(R = \frac{2}{3}h\)

Подставляем выражение для высоты:
\(R = \frac{2}{3} \cdot \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{b\sqrt{3}}{3}\)

Отсюда находим сторону треугольника:
\(b = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{3} = R\sqrt{3}\)

Высота треугольника:
\(h = \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{R\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2}\)

Теперь рассмотрим квадрат, вписанный в ту же окружность. Пусть \(a\) — сторона квадрата.

Диагональ квадрата равна диаметру окружности:
\(a\sqrt{2} = 2R\)
\(a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}\)

Вычисляем площади:
Площадь треугольника: \(S_т = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\)

Площадь квадрата: \(S_к = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2\)

Находим отношение площадей:
\(\frac{S_т}{S_к} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{2R^2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\)

Ответ: Г.

8.

Дано: \(O_1, O_2\) — центры окружностей; \(R_1 = R_2 = R\); \(BO_2 \perp O_1O_2\); \(AB = 10\) см.

Найти: \(S_{ABO_2}\).

Рассматриваем две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и одинаковыми радиусами \(R\). Точка \(A\) лежит на первой окружности, точка \(B\) — на второй. Из условия \(BO_2 \perp O_1O_2\) следует, что отрезок \(BO_2\) перпендикулярен линии центров окружностей.

Поскольку \(A\) принадлежит окружности с центром \(O_1\), то \(O_1A = R\). Аналогично, поскольку \(B\) принадлежит окружности с центром \(O_2\), то \(O_2B = R\).

Из геометрии задачи видно, что точка \(C\) является точкой касания окружностей или точкой их пересечения. В любом случае \(O_1C = R\) и \(O_2C = R\).

Находим расстояние \(AO_2\). Поскольку точки \(A\), \(O_1\), \(C\), \(O_2\) лежат на одной прямой (линии центров), то:
\(AO_2 = AO_1 + O_1C + CO_2 = R + R + R = 3R\)

Рассматриваем прямоугольный треугольник \(ABO_2\). В этом треугольнике:
— гипотенуза \(AB = 10\) см
— один катет \(AO_2 = 3R\)
— другой катет \(BO_2 = R\) (так как \(BO_2\) — радиус окружности с центром \(O_2\))

Применяем теорему Пифагора:
\(AB^2 = (AO_2)^2 + (BO_2)^2\)

Подставляем известные значения:
\(10^2 = (3R)^2 + R^2\)
\(100 = 9R^2 + R^2\)
\(100 = 10R^2\)
\(R^2 = 10\)
\(R = \sqrt{10}\)

Теперь находим площадь треугольника \(ABO_2\). Поскольку треугольник прямоугольный с катетами \(AO_2 = 3R\) и \(BO_2 = R\), его площадь равна:
\(S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot AO_2 \cdot BO_2\)

Подставляем найденные значения:
\(S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot 3R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10 = \frac{30}{2} = 15\)

Ответ: \(S_{ABO_2} = 15\) кв. см.

9. Рассмотрим задачу о геометрическом месте точек \(X\), для которых площадь треугольника \(AXB\) равна заданному числу \(S\).

Пусть даны две точки \(A\) и \(B\). Расстояние между ними обозначим как \(|AB| = d\). Для любой точки \(X\) площадь треугольника \(AXB\) можно вычислить по формуле \(S_{AXB} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h\), где \(h\) — высота треугольника, опущенная из точки \(X\) на прямую \(AB\).

Подставляя известные значения, получаем \(S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h\), откуда высота \(h = \frac{2S}{d}\).

Поскольку площадь треугольника \(AXB\) должна быть постоянной и равной \(S\), высота \(h\) от точки \(X\) до прямой \(AB\) также должна быть постоянной и равной \(\frac{2S}{d}\).

Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии \(h\) от данной прямой, представляет собой две параллельные прямые, расположенные по разные стороны от исходной прямой на расстоянии \(h\) от неё.

Первая прямая находится на расстоянии \(h = \frac{2S}{d}\) с одной стороны от прямой \(AB\), вторая прямая — на том же расстоянии \(h = \frac{2S}{d}\) с другой стороны от прямой \(AB\).

Все точки \(X\), лежащие на любой из этих двух прямых, образуют с точками \(A\) и \(B\) треугольники одинаковой площади \(S\), поскольку основание \(AB\) у всех треугольников общее, а высота постоянна.

Таким образом, геометрическим местом точек \(X\), для которых площадь треугольника \(AXB\) равна данному числу \(S\), являются две прямые, параллельные прямой \(AB\).

10. Дано: ABCD – трапеция; BH – высота; MN – средняя линия; BD ⊥ AC; AB = CD; ME = EF = FN; AD = 12 см.

Найти: \(S_{ABCD}\).

Поскольку ABCD – равнобедренная трапеция (AB = CD), то диагонали равны: AC = BD. При пересечении диагоналей в точке O получаем: AO = OD и BO = OC, так как в равнобедренной трапеции диагонали делятся точкой пересечения на равные отрезки от вершин к основаниям.

MN – средняя линия трапеции, поэтому MN параллельна основаниям BC и AD, а также \(MN = \frac{1}{2}(AD + BC)\).

В треугольнике ABC точка M является серединой стороны AB (AM = BM), а ME параллельна BC, следовательно, ME – средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии: \(ME = \frac{1}{2}BC\).

Поскольку ME = EF = FN и эти отрезки составляют среднюю линию MN, то \(MN = ME + EF + FN = 3ME\). Подставляя \(ME = \frac{1}{2}BC\), получаем: \(MN = 3 \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}BC\).

Используя формулу средней линии трапеции: \(\frac{3}{2}BC = \frac{1}{2}(AD + BC)\). Умножая обе части на 2: \(3BC = AD + BC\). Подставляя AD = 12: \(3BC = 12 + BC\), откуда \(2BC = 12\), следовательно BC = 6.

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями углы при основаниях равны 45°. В треугольнике BOC: BO = OC (равнобедренный), \(\angle BOC = 90°\) (диагонали перпендикулярны), следовательно \(\angle OBC = \angle OCB = 45°\). Тогда \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

В прямоугольном треугольнике BOC: \(\sin \angle OBC = \frac{OC}{BC}\), откуда \(OC = BC \cdot \sin 45° = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).

Аналогично, в треугольнике AOD: AO = OD (равнобедренный), \(\angle AOD = 90°\), \(\angle OAD = \angle ODA = 45°\). Тогда \(AO = AD \cdot \sin 45° = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\).

Диагональ трапеции: \(BD = AC = AO + OC = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\).

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Поэтому \(DH = MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}(12 + 6) = 9\).

В прямоугольном треугольнике BHD применяем теорему Пифагора: \(BD^2 = BH^2 + DH^2\). Подставляя известные значения: \((9\sqrt{2})^2 = BH^2 + 9^2\), откуда \(162 = BH^2 + 81\), следовательно \(BH^2 = 81\), и BH = 9.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH = \frac{1}{2}(12 + 6) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81\).

Также можно использовать связь с средней линией: \(S_{ABCD} = MN \cdot BH = 9 \cdot 9 = 81\).

Ответ: 81.