ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(cos a\), если \(sin a = \frac{1}{3}\) и \(90° \leq a \leq 180°\);

2) \(cos a\), если \(sin a = \frac{3}{4}\);

3) \(sin a\), если \(cos a = -0,8\);

4) \(tg a\), если \(sin a = \frac{4}{5}\) и \(90° < a \leq 180°\);

5) \(ctg a\), если \(cos a = \frac{12}{13}\) и \(0° < a \leq 90°\).

1) \(cos a = -\sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

2) \(cos a = \pm\sqrt{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}\)

3) \(sin a = \pm\sqrt{1 — (-0,8)^2} = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6\)

4) \(tg a = -\frac{sin a}{cos a} = -\frac{\frac{4}{5}}{-\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2}} = -\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{-4}{3}\)

5) \(ctg a = \frac{cos a}{sin a} = \frac{\frac{12}{13}}{\sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2}} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}\)

1) Для нахождения \(cos a\), если \(sin a = \frac{1}{3}\) и \(90° \leq a \leq 180°\), используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 a + cos^2 a = 1\). Подставляем значение \(sin a\):

\(
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + cos^2 a = 1
\)

Это дает:

\(
\frac{1}{9} + cos^2 a = 1
\)

Вычтем \(\frac{1}{9}\) из обеих сторон:

\(
cos^2 a = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\)

Теперь находим \(cos a\):

\(
cos a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}
\)

Поскольку угол \(a\) находится в диапазоне \(90° \leq a \leq 180°\), \(cos a\) будет отрицательным:

\(
cos a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\)

2) Для нахождения \(cos a\), если \(sin a = \frac{3}{4}\), также используем тождество \(sin^2 a + cos^2 a = 1\):

\(
\left(\frac{3}{4}\right)^2 + cos^2 a = 1
\)

Это дает:

\(
\frac{9}{16} + cos^2 a = 1
\)

Вычтем \(\frac{9}{16}\):

\(
cos^2 a = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
\)

Теперь находим \(cos a\):

\(
cos a = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}
\)

Здесь значение может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от квадранта, в котором находится угол \(a\).

3) Для нахождения \(sin a\), если \(cos a = -0,8\), снова используем тождество \(sin^2 a + cos^2 a = 1\):

\(
sin^2 a + (-0,8)^2 = 1
\)

Это дает:

\(
sin^2 a + 0,64 = 1
\)

Вычтем \(0,64\):

\(
sin^2 a = 1 — 0,64 = 0,36
\)

Теперь находим \(sin a\):

\(
sin a = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6
\)

Здесь значение может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от квадранта, в котором находится угол \(a\).

4) Для нахождения \(tg a\), если \(sin a = \frac{4}{5}\) и \(90° < a \leq 180°\), используем соотношение \(tg a = \frac{sin a}{cos a}\). Сначала находим \(cos a\):

\(
cos^2 a = 1 — sin^2 a = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
\)

Следовательно:

\(
cos a = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}
\)

Теперь можем найти \(tg a\):

\(
tg a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}
\)

5) Для нахождения \(ctg a\), если \(cos a = \frac{12}{13}\) и \(0° < a \leq 90°\), используем соотношение \(ctg a = \frac{cos a}{sin a}\). Сначала находим \(sin a\):

\(
sin^2 a = 1 — cos^2 a = 1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}
\)

Следовательно:

\(
sin a = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}
\)

Теперь можем найти \(ctg a\):

\(
ctg a = \frac{cos a}{sin a} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}
\)