ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(cos a\), если \(sin a = \frac{5}{13}\) и \(90° \leq a \leq 180°\);

2) \(sin a\), если \(cos a = \frac{1}{6}\);

3) \(tg a\), если \(sin a = \frac{2}{5}\) и \(0° \leq a < 90°\);

4) \(ctg a\), если \(cos a = -\frac{8}{17}\).

1) \(cos a = -\sqrt{1 — sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}\)
2) \(sin a = \sqrt{1 — cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
3) \(tg a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{1 — \left(\frac{2}{5}\right)^2}} = \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{1 — \frac{4}{25}}} = \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{21}{25}}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}\)
4) \(ctg a = \frac{cos a}{sin a} = \frac{-\frac{8}{17}}{\sqrt{1 — \left(-\frac{8}{17}\right)^2}} = \frac{-\frac{8}{17}}{\sqrt{1 — \frac{64}{289}}} = \frac{-\frac{8}{17}}{\sqrt{\frac{225}{289}}} = \frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}\)

1) Для нахождения \(cos a\) при условии \(sin a = \frac{5}{13}\) и \(90° \leq a \leq 180°\), используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 a + cos^2 a = 1\). Подставляем значение \(sin a\):

\(
sin^2 a = \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}
\)

Теперь подставим в тождество:

\(
\frac{25}{169} + cos^2 a = 1
\)

Решаем уравнение:

\(
cos^2 a = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
\)

Следовательно,

\(
cos a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}
\)

Знак минус выбираем, так как угол \(a\) находится во втором квадранте.

2) Для нахождения \(sin a\) при \(cos a = \frac{1}{6}\), также используем тригонометрическое тождество. Подставляем значение \(cos a\):

\(
cos^2 a = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}
\)

Теперь подставим в тождество:

\(
sin^2 a + \frac{1}{36} = 1
\)

Решаем уравнение:

\(
sin^2 a = 1 — \frac{1}{36} = \frac{36}{36} — \frac{1}{36} = \frac{35}{36}
\)

Следовательно,

\(
sin a = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}
\)

3) Для нахождения \(tg a\) при \(sin a = \frac{2}{5}\) и \(0° \leq a < 90°\), используем определение тангенса: \(tg a = \frac{sin a}{cos a}\). Сначала найдем \(cos a\):

\(
sin^2 a = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}
\)

Теперь подставим в тождество:

\(
\frac{4}{25} + cos^2 a = 1
\)

Решаем уравнение:

\(
cos^2 a = 1 — \frac{4}{25} = \frac{25}{25} — \frac{4}{25} = \frac{21}{25}
\)

Следовательно,

\(
cos a = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}
\)

Теперь можем найти \(tg a\):

\(
tg a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}}
\)

4) Для нахождения \(ctg a\) при \(cos a = -\frac{8}{17}\), сначала найдем \(sin a\). Используем тригонометрическое тождество:

\(
cos^2 a = \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{64}{289}
\)

Теперь подставим в тождество:

\(
sin^2 a + \frac{64}{289} = 1
\)

Решаем уравнение:

\(
sin^2 a = 1 — \frac{64}{289} = \frac{289}{289} — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}
\)

Следовательно,

\(
sin a = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}
\)

Теперь можем найти \(ctg a\):

\(
ctg a = \frac{cos a}{sin a} = \frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}
\)