ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;

2) существует тупой угол, синус и косинус которого равны;

3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю.

4) косинус угла треугольника является неотрицательным числом;

5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;

6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;

7) синус угла треугольника может быть равным нулю;

8) синусы смежных углов равны;

9) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами;

10) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы;

11) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы;

12) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла;

13) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла.

1) Верно. Для острых углов (углы от \(0^\circ\) до \(90^\circ\)) косинус принимает значения от 1 до 0, а для тупых углов (углы от \(90^\circ\) до \(180^\circ\)) косинус принимает значения от 0 до -1. Таким образом, косинус острого угла всегда больше косинуса тупого угла.

2) Неверно. Синус и косинус могут быть равны только для угла \(45^\circ\) или \(225^\circ\), но оба эти угла острые или прямые, а тупых углов с равными синусом и косинусом не существует.

3) Неверно. Синус и косинус равны нулю только для угла \(0^\circ\) (или \(180^\circ\)), но это не может быть тупым углом.

4) Верно. В треугольнике все углы находятся в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Косинус угла в этом диапазоне неотрицателен для углов от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) и равен нулю для угла \(90^\circ\).

5) Неверно. Синус угла треугольника всегда положителен, так как все углы треугольника лежат в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).

6) Верно. Косинус угла равен нулю для угла \(90^\circ\), который является углом треугольника.

7) Неверно. Синус угла треугольника не может быть равен нулю, так как все углы треугольника больше \(0^\circ\).

8) Верно. Синусы смежных углов равны, так как смежные углы имеют общую сторону и их суммы равны \(180^\circ\).

9) Верно. Косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами, так как \( \cos(180^\circ — x) = -\cos(x) \).

10) Неверно. Если косинусы двух углов равны, то углы могут отличаться на \(360^\circ\) или быть равными, но не обязательно равны сами углы.

11) Неверно. Если синусы двух углов равны, то углы могут отличаться на \(180^\circ\) или быть равными, но не обязательно равны сами углы.

12) Верно. Тангенс острого угла больше тангенса тупого угла, так как \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), и для острых углов синус больше, а косинус меньше, чем для тупых.

13) Верно. Тангенс острого угла больше котангенса тупого угла, так как \( \tan(x) = \frac{1}{\cot(x)} \) и для острого угла \( \tan(x) > 0 \), а для тупого угла \( \cot(x) < 0 \).

1) Верно. Косинус острого угла, который находится в диапазоне от \(0^\circ\) до \(90^\circ\), принимает значения от 1 до 0. Это означает, что чем ближе угол к \(0^\circ\), тем больше значение косинуса. Например, для угла \(30^\circ\) косинус равен \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\), а для угла \(60^\circ\) косинус равен \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5\). В то же время для тупых углов, находящихся в диапазоне от \(90^\circ\) до \(180^\circ\), косинус принимает отрицательные значения. Например, для угла \(120^\circ\) косинус равен \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). Таким образом, косинус острого угла всегда больше косинуса тупого угла.

2) Неверно. Синус и косинус могут быть равны только для углов \(45^\circ\) и \(225^\circ\), где \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Однако ни один из этих углов не является тупым. Тупой угол определяется как угол, превышающий \(90^\circ\) и менее \(180^\circ\). Для тупого угла, например, \(120^\circ\), синус равен \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а косинус равен \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). Таким образом, синус и косинус не могут быть равны для тупого угла.

3) Неверно. Синус и косинус равны нулю только для угла \(0^\circ\) и угла \(180^\circ\). Эти углы не являются тупыми, так как тупой угол должен быть больше \(90^\circ\) и меньше \(180^\circ\). Например, для угла \(90^\circ\) синус равен 1, а косинус равен 0. Следовательно, не существует тупого угла, для которого синус и косинус равны нулю.

4) Верно. В треугольнике все углы находятся в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Косинус угла в этом диапазоне неотрицателен для углов от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) (где косинус варьируется от 1 до 0) и равен нулю для угла \(90^\circ\). Для тупых углов, находящихся в диапазоне от \(90^\circ\) до \(180^\circ\), косинус становится отрицательным. Таким образом, косинус угла треугольника может быть равен нулю только для прямого угла, а для остальных углов он всегда неотрицателен.

5) Неверно. Синус угла треугольника всегда положителен, так как все углы треугольника находятся в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Это означает, что для любого угла \(x\) в этом диапазоне выполняется \( \sin(x) > 0\). Например, для угла \(120^\circ\) синус равен \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), что является положительным значением. Таким образом, синус угла треугольника не может принимать отрицательные значения.

6) Верно. Косинус угла равен нулю для угла \(90^\circ\), который является углом треугольника. Это можно записать как \( \cos(90^\circ) = 0\). Таким образом, в треугольнике всегда может существовать угол, для которого косинус равен нулю, и это происходит именно в случае прямого угла.

7) Неверно. Синус угла треугольника не может быть равен нулю, так как все углы треугольника больше \(0^\circ\) и менее \(180^\circ\). Например, для угла \(0^\circ\) синус равен нулю, но такой угол не может быть углом треугольника. Для угла \(90^\circ\) синус равен 1, а для угла \(180^\circ\) синус снова равен нулю, но этот угол также не может быть углом треугольника. Следовательно, синус угла треугольника всегда положителен.

8) Верно. Синусы смежных углов равны, так как смежные углы имеют общую сторону и их суммы равны \(180^\circ\). Если обозначить угол \(A\) и угол \(B\) как смежные, то \(A + B = 180^\circ\). В этом случае выполняется равенство \( \sin(A) = \sin(180^\circ — A) = \sin(B)\).

9) Верно. Косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами, что можно выразить формулой \( \cos(180^\circ — x) = -\cos(x) \). Это означает, что если угол \(A\) и угол \(B\) смежные, то \(B = 180^\circ — A\), и их косинусы будут противоположными: \( \cos(A) = -\cos(B)\).

10) Неверно. Если косинусы двух углов равны, это не обязательно означает, что углы равны. Например, \( \cos(30^\circ) = \cos(330^\circ)\), но углы \(30^\circ\) и \(330^\circ\) не равны. В общем случае, если \( \cos(x) = \cos(y)\), то это может означать, что \(x = y + 360k\) или \(x = -y + 360k\) для некоторого целого \(k\).

11) Неверно. Если синусы двух углов равны, это не гарантирует равенство углов. Например, \( \sin(30^\circ) = \sin(150^\circ)\), но углы \(30^\circ\) и \(150^\circ\) не равны. В общем случае, если \( \sin(x) = \sin(y)\), то это может означать, что \(x = y + 360k\) или \(x = 180 — y + 360k\) для некоторого целого \(k\).

12) Верно. Тангенс острого угла больше тангенса тупого угла. Тангенс определяется как \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Для острых углов синус положителен, а косинус также положителен, что делает тангенс положительным. Для тупых углов синус положителен, но косинус отрицателен, что делает тангенс отрицательным. Например, для угла \(45^\circ\) \( \tan(45^\circ) = 1\), а для угла \(120^\circ\) \( \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}\).

13) Верно. Тангенс острого угла больше котангенса тупого угла. Котангенс определяется как \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Для острого угла \(x\) тангенс положителен, а для тупого угла \(y\) котангенс отрицателен, так как \( \tan(y) < 0\). Например, для угла \(30^\circ\) \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), а для угла \(120^\circ\) \( \cot(120^\circ) = -\frac{1}{\tan(120^\circ)}\), что делает тангенс острого угла больше котангенса тупого угла.