ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
1) 2 sin(120°) + 4 cos(150°) — 2 tg(135°);
2) cos(120°) — 8 sin²(150°) + 3 cos(90°) cos(162°);
3) cos(180°) (sin(135°) tg(60°) — cos(135°))²;
4) 2 sin²(30°) + cos(260°) + sin(45°) + tg(260°) — ctg(30°).
.
.
.
.
Для выражения \(2 \sin 120^\circ + 4 \cos 150^\circ — 2 \tan 135^\circ\):
1. Начнем с нахождения значения \(\sin 120^\circ\). Угол \(120^\circ\) находится во втором квадранте, где синус положителен. Мы можем записать:
\(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
2. Теперь найдем \(\cos 150^\circ\). Угол \(150^\circ\) также находится во втором квадранте. Мы используем формулу:
\(\cos 150^\circ = \cos(180^\circ — 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
3. Далее найдем значение \(\tan 135^\circ\). Угол \(135^\circ\) находится в втором квадранте, где тангенс отрицателен:
\(\tan 135^\circ = \tan(180^\circ — 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\).
4. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
\(2 \sin 120^\circ + 4 \cos 150^\circ — 2 \tan 135^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — 2 \cdot (-1)\).
5. Упрощаем каждую часть:
— Первое слагаемое: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).
— Второе слагаемое: \(4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3}\).
— Третье слагаемое: \(-2 \cdot (-1) = 2\).
6. Теперь объединим все слагаемые:
\(\sqrt{3} — 2\sqrt{3} + 2 = (1 — 2)\sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3} + 2\).
7. Конечный ответ:
\(2 — \sqrt{3}\).
Для выражения \(\cos 120^\circ — 8 \sin^2 150^\circ + 3 \cos 90^\circ \cos 162^\circ\):
1. Начнем с нахождения значения \(\cos 120^\circ\):
\(\cos 120^\circ = \cos(180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\).
2. Теперь найдем \(\sin 150^\circ\):
\(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ — 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
3. Вычисляем \(\sin^2 150^\circ\):
\(\sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
4. Подставляем значение в выражение:
\(-8 \sin^2 150^\circ = -8 \cdot \frac{1}{4} = -2\).
5. Теперь найдем \(\cos 90^\circ\):
\(\cos 90^\circ = 0\), следовательно, \(3 \cos 90^\circ \cos 162^\circ = 0\).
6. Теперь подставим все найденные значения в выражение:
\(\cos 120^\circ — 8 \sin^2 150^\circ + 3 \cos 90^\circ \cos 162^\circ = -\frac{1}{2} — 2 + 0\).
7. Упрощаем:
\(-\frac{1}{2} — 2 = -\frac{1}{2} — \frac{4}{2} = -\frac{5}{2}\).
8. Конечный ответ:
\(-\frac{5}{2}\).
Для выражения \(\cos 180^\circ (\sin 135^\circ \tan 60^\circ — \cos 135^\circ)^2\):
1. Начнем с нахождения значения \(\cos 180^\circ\):
\(\cos 180^\circ = -1\).
2. Теперь найдём \(\sin 135^\circ\):
\(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
3. Найдем значение \(\tan 60^\circ\):
\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\).
4. Теперь найдем \(\cos 135^\circ\):
\(\cos 135^\circ = \cos(180^\circ — 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
5. Подставляем значения в выражение:
\(\sin 135^\circ \tan 60^\circ — \cos 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} — \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
6. Упрощаем:
\(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\).
7. Подставляем это значение в квадрат:
\(\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{4}\).
8. Раскрываем скобки:
\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}\).
9. Получаем:
\(\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}\).
10. Теперь умножаем на \(\cos 180^\circ\):
\(-1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = -2 — \sqrt{3}\).
11. Конечный ответ:
\(-2 — \sqrt{3}\).
Для выражения \(2 \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ — \cot^2 30^\circ\):
1. Начнем с нахождения значения \(\sin 30^\circ\):
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
2. Теперь вычислим \(\sin^2 30^\circ\):
\(\sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
3. Подставляем в выражение \(2 \sin^2 30^\circ\):
\(2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
4. Теперь находим \(\cos 60^\circ\):
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
5. Вычисляем \(\cos^2 60^\circ\):
\(\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
6. Теперь находим \(\sin 45^\circ\):
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
7. Вычисляем \(\sin^2 45^\circ\):
\(\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
8. Теперь находим \(\tan 60^\circ\):
\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\).
9. Вычисляем \(\tan^2 60^\circ\):
\(\tan^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 = 3\).
10. Теперь найдем \(\cot 30^\circ\):
\(\cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}\).
11. Вычисляем \(\cot^2 30^\circ\):
\(\cot^2 30^\circ = (\sqrt{3})^2 = 3\).
12. Подставляем все значения в выражение:
\(2 \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ — \cot^2 30^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 — 3\).
13. Упрощаем:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}\).
14. Конечный ответ:
\(\frac{5}{4}\).