ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чем равно значение выражения:

$2 \sin 150^\circ — 4 \cos 120^\circ + 2 \tg 135^\circ$;

$\tg 45^\circ \sin 60^\circ \ctg 30^\circ$;

$\sin 90^\circ (\tg 150^\circ \cos 135^\circ — \tg 120^\circ \cos 135^\circ)$.

1) \(2 \tan 150° — 4 \cos 120° + 2 \tan 135°\)
\(\tan 150° = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\), \(\tan 135° = -1\)
Подставляем: \(2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \cdot (-1)\)
\(= -\frac{2}{\sqrt{3}} + 2 — 2 = -\frac{2}{\sqrt{3}}\)

2) \(\tan 45° \sin 60° \cot 30°\)
\(\tan 45° = 1\), \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cot 30° = \sqrt{3}\)
Подставляем: \(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}\)
\(= \frac{3}{2}\)

3) \(\sin 90° (\tan 150° \cos 135° — \tan 120° \cos 135°)^2\)
\(\sin 90° = 1\), \(\tan 150° = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\cos 135° = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\tan 120° = -\sqrt{3}\)
Подставляем: \(1 \cdot \left(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) — \left(-\sqrt{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2\)
Упрощаем: \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}} — \frac{3}{\sqrt{6}}\right)^2 = \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

1) Рассмотрим выражение \(2 \tan 150° — 4 \cos 120° + 2 \tan 135°\). Сначала определим значения тригонометрических функций.

Для \(\sin 150°\) мы знаем, что угол 150° находится во втором квадранте, где синус положителен. Значение можно найти через основное тригонометрическое соотношение:
\(\sin 150° = \sin (180° — 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\).

Теперь вычисляем \(\cos 120°\). Угол 120° также находится во втором квадранте, где косинус отрицателен:
\(\cos 120° = \cos (180° — 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}\).

Следующий шаг — найти значение \(\tan 135°\). Угол 135° находится во втором квадранте, где тангенс отрицателен:
\(\tan 135° = \tan (180° — 45°) = -\tan 45° = -1\).

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
\(2 \cdot \frac{1}{2} — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \cdot (-1)\).

Выполним вычисления по порядку:
\(= 1 + 2 — 2 = 1\).

Ответ: 1

2) Теперь рассмотрим выражение \(\tan 45° \sin 60° \cot 30°\). Начнем с вычисления значений тригонометрических функций.

Для \(\tan 45°\) известно, что тангенс угла 45° равен 1:
\(\tan 45° = 1\).

Теперь найдем \(\sin 60°\). Угол 60° находится в первом квадранте, и его синус равен:
\(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь вычислим \(\cot 30°\). Котангенс угла 30° равен:
\(\cot 30° = \frac{1}{\tan 30°} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\).

Теперь подставим все значения в выражение:
\(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}\).

Выполним умножение:
\(= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

3) Рассмотрим выражение \(\sin 90° (\tan 150° \cos 135° — \tan 120° \cos 135°)^2\). Начнем с вычисления значений тригонометрических функций.

Значение \(\sin 90°\) известно:
\(\sin 90° = 1\).

Теперь найдем \(\tan 150°\). Угол 150° находится во втором квадранте, где тангенс отрицателен:
\(\tan 150° = \tan (180° — 30°) = -\tan 30° = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь вычислим \(\cos 135°\). Угол 135° находится во втором квадранте:
\(\cos 135° = \cos (180° — 45°) = -\cos 45° = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь найдем \(\tan 120°\). Угол 120° также во втором квадранте:
\(\tan 120° = \tan (180° — 60°) = -\tan 60° = -\sqrt{3}\).

Теперь подставим все значения в выражение:
\(1 \cdot \left(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) — \left(-\sqrt{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2\).

Упростим выражение внутри скобок:
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}\) и
\(\left(-\sqrt{3} \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{6}}\).

Теперь подставим:
\(= \left(\frac{1}{\sqrt{6}} — \frac{3}{\sqrt{6}}\right)^2 = \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}\)