ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника.

Сумма квадратов косинусов углов прямоугольного треугольника равна \( \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 \).

Сумма квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника может быть найдена через углы \( A \), \( B \) и \( C \). В прямоугольном треугольнике один из углов равен \( 90^\circ \), обозначим его как \( C \). Тогда \( A + B = 90^\circ \).

Косинусы углов \( A \) и \( B \) можно выразить через синусы: \( \cos A = \sin B \) и \( \cos B = \sin A \). Таким образом, сумма квадратов косинусов углов \( A \) и \( B \) будет выглядеть следующим образом:

\(
\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 B + \sin^2 A
\)

Согласно тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синусов равна 1 для двух углов, которые в сумме дают \( 90^\circ \):

\(
\sin^2 A + \sin^2 B = 1
\)

Таким образом, мы можем записать:

\(
\cos^2 A + \cos^2 B = 1
\)

Поскольку \( \cos C = 0 \) (так как \( C = 90^\circ \)), то сумма квадратов косинусов всех углов треугольника будет:

\(
\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = \cos^2 A + \cos^2 B + 0 = \cos^2 A + \cos^2 B = 1
\)

Таким образом, окончательный ответ: сумма квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника равна 1