ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что \(ZB = 60°\), точка О — центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла AOC?

В треугольнике $\triangle ABC$, где $\angle B = 60^\circ$, используя сумму углов, находим, что $\angle A + \angle C = 120^\circ$. Так как $O$ — центр вписанной окружности, углы $\angle AOC$ можно выразить как $\angle AOC = 180^\circ — \frac{1}{2} (\angle A + \angle C)$. Подставляем $\angle A + \angle C = 120^\circ$, получаем $\angle AOC = 120^\circ$. Для нахождения $\cos 120^\circ$ используем тождество $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$, и, зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. Ответ: $\cos \angle AOC = -\frac{1}{2}$.

Для задачи с нахождением косинуса угла $\angle AOC$ в треугольнике $\triangle ABC$, где $\angle B = 60^\circ$ и точка $O$ является центром вписанной окружности, шаги решения следующие:

Сначала используем теорему о сумме углов треугольника $\triangle ABC$:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

Так как $\angle B = 60^\circ$, имеем:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ$$

Поскольку $O$ — это центр вписанной окружности, то отрезки $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$, соответственно. Таким образом, углы $\angle AOC$ можно выразить как:

$$\angle AOC = 180^\circ — \left( \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C \right)$$

Подставим $\angle A + \angle C = 120^\circ$ в формулу для $\angle AOC$:

$$\angle AOC = 180^\circ — \frac{1}{2} \times 120^\circ = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ$$

Для нахождения $\cos 120^\circ$ используем тригонометрическое тождество:

$$\cos(180^\circ — x) = -\cos x$$

Следовательно:

$$\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$$

Значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, поэтому:

$$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\cos \angle AOC = -\frac{1}{2}$.