ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В непрямоугольном треугольнике ABC известно, что \(ZB = 30°\), точка H — ортоцентр. Чему равен тангенс угла AHC?

В непрямоугольном треугольнике ABC известно, что угол ZB = 30°, и точка H является ортоцентром. Для нахождения тангенса угла AHC необходимо использовать формулу \(tan(\angle AHC) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), так как угол AHC равен 120°, а \(tan(120°) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).

В непрямоугольном треугольнике ABC известно, что угол ZB = 30°, и точка H является ортоцентром. Для нахождения тангенса угла AHC необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение свойств ортоцентра: Ортоцентр H треугольника ABC является точкой пересечения высот. Следовательно, для нахождения тангенса угла AHC необходимо использовать геометрические соотношения в треугольнике.

2. Геометрические соотношения в треугольнике: В прямоугольном треугольнике ABH, \(tan(\angle ABH) = \frac{противолежащий\, катет}{прилежащий\, катет}\). Поскольку \(\angle ABH = 30°\), то \(tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Аналогично, в прямоугольном треугольнике CBH, \(tan(\angle CBH) = \frac{противолежащий\, катет}{прилежащий\, катет}\). Поскольку \(\angle CBH = 30°\), то \(tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

3. Связь между углами в треугольнике: Угол AHC можно выразить через углы треугольника ABC, используя формулу \(\angle AHC = 180° — 2\angle B\). Поскольку \(\angle B = 30°\), то \(\angle AHC = 180° — 2 \cdot 30° = 120°\).

4. Использование формулы для тангенса угла 120°: \(tan(120°) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Это связано с тем, что \(tan(120°) = tan(180° — 60°) = -tan(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

5. Таким образом, тангенс угла AHC равен \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Это можно объяснить тем, что в прямоугольном треугольнике ABH противолежащий катет равен 1, а прилежащий катет равен \(\sqrt{3}\), поэтому \(tan(\angle ABH) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Аналогично, в прямоугольном треугольнике CBH противолежащий катет равен 1, а прилежащий катет равен \(\sqrt{3}\), поэтому \(tan(\angle CBH) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Поскольку \(\angle AHC = 120°\), то \(tan(\angle AHC) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).