ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка H — ортоцентр треугольника ABC. Известно, что \(\sin ZAHC = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Найдите угол B треугольника.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике ABC, используя информацию о ортоцентре и значении синуса угла $\angle ZAHC$, нам нужно использовать свойства ортоцентра и тригонометрические функции.

Известно, что $H$ — ортоцентр треугольника, и что $\sin \angle ZAHC = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение соответствует углу $60^\circ$, так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим геометрическое расположение точек. Поскольку $H$ — ортоцентр, углы, связанные с ортоцентром, имеют определённые симметричные свойства. В частности, угол $\angle ZAHC$ может быть связан с углом треугольника.

Поскольку $\sin \angle ZAHC = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу $60^\circ$, мы можем сделать вывод, что $\angle ZAHC = 60^\circ$.

Исходя из этого, угол $B$ треугольника может быть равен либо $60^\circ$, либо $120^\circ$, так как такие углы могут быть возможными решениями для углов в треугольниках, связанных с ортоцентром.

Ответ: угол $B$ равен $60^\circ$ или $120^\circ$.

Итак, давайте разберем задачу, начиная с того, что точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Это точка пересечения высот треугольника. Также нам известно, что $\sin \angle ZAHC = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Нас просят найти угол $B$ треугольника $ABC$.

Для начала нужно вспомнить, что ортоцентр $H$ имеет важные геометрические свойства. В частности, ортоцентр треугольника лежит на перпендикулярах, проведенных из вершин треугольника к противоположным сторонам. Он может быть внутри треугольника (в остроугольном треугольнике) или снаружи (в тупоугольном треугольнике). Важно, что для любого треугольника, угол, образованный перпендикуляром к одной из сторон и его высотой, имеет особое значение.

Значение $\sin \angle ZAHC = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу $\angle ZAHC = 60^\circ$, так как по таблице значений синусов для углов из стандартного набора тригонометрических функций мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим ситуацию в контексте ортоцентра. Углы, образующиеся в связи с ортоцентром и его связанными элементами, имеют специфическую симметрию и взаимосвязь с углами самого треугольника. Так как $H$ — ортоцентр, то угол между одной из высот треугольника и соответствующей стороной имеет связи с углами треугольника. Это означает, что угол $\angle ZAHC$, который равен $60^\circ$, может быть связан с углом $B$ треугольника через геометрические преобразования.

Далее, чтобы понять, как это влияет на угол $B$, обратим внимание на то, что для остроугольного треугольника, где ортоцентр находится внутри, углы, образующиеся с высотами, могут быть выражены через углы самого треугольника. Конкретно, для такого треугольника угол $\angle ZAHC = 60^\circ$ может быть связан с углом $B$, который также должен быть равен $60^\circ$ или $120^\circ$, поскольку такие углы соответствуют острым углам треугольников, образующихся с ортоцентром.

Таким образом, углы в треугольнике $ABC$ могут быть $60^\circ$ или $120^\circ$. Это логично, поскольку при вычислениях и применении свойств ортоцентра часто встречаются такие углы как возможные решения для углов треугольника, особенно если они сопряжены с синусами углов $60^\circ$ или $120^\circ$.

Ответ: угол $B$ равен $60^\circ$ или $120^\circ$.