ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите ctg 5° ctg 15° ctg 25° · … · ctg 75° ctg 85°.

ctg 5° · ctg 15° · ctg 25° · ctg 75° · ctg 85° = ctg 5° · ctg (90° — 5°) · ctg 15° · ctg (90° — 15°) · ctg 25° · ctg (90° — 25°)

Каждая пара:
ctg 5° · ctg 85° = 1,
ctg 15° · ctg 75° = 1,
ctg 25° · ctg 65° = 1.

Итого: 1 · 1 · 1 = 1

\( ctg 5° \cdot ctg 15° \cdot ctg 25° \cdot ctg 75° \cdot ctg 85° \)

Рассмотрим данное выражение более подробно и развернуто.

1) Начнем с пары углов 5° и 85°. Мы знаем, что \( ctg \theta = \frac{1}{tan \theta} \). Таким образом, мы можем записать:
\(
ctg 5° \cdot ctg 85° = ctg 5° \cdot \frac{1}{tan 85°}
\)
С учетом того, что \( tan(90° — x) = \frac{1}{tan x} \), получаем:
\(
ctg 85° = \frac{1}{tan 85°} = \frac{1}{tan(90° — 5°)} = tan 5°
\)
Следовательно,
\(
ctg 5° \cdot ctg 85° = ctg 5° \cdot \frac{1}{tan 85°} = \frac{1}{tan 5°} \cdot tan 5° = 1
\)

2) Теперь рассмотрим пару углов 15° и 75°. Используем аналогичный подход:
\(
ctg 15° \cdot ctg 75° = ctg 15° \cdot \frac{1}{tan 75°}
\)
Опять же, применяем свойство тангенса:
\(
ctg 75° = \frac{1}{tan 75°} = \frac{1}{tan(90° — 15°)} = tan 15°
\)
Таким образом, имеем:
\(
ctg 15° \cdot ctg 75° = ctg 15° \cdot \frac{1}{tan 75°} = \frac{1}{tan 15°} \cdot tan 15° = 1
\)

3) Теперь перейдем к паре углов 25° и 65°. Рассмотрим:
\(
ctg 25° \cdot ctg 65° = ctg 25° \cdot \frac{1}{tan 65°}
\)
Здесь также используем свойство тангенса:
\(
ctg 65° = \frac{1}{tan 65°} = \frac{1}{tan(90° — 25°)} = tan 25°
\)
Следовательно:
\(
ctg 25° \cdot ctg 65° = ctg 25° \cdot \frac{1}{tan 65°} = \frac{1}{tan 25°} \cdot tan 25° = 1
\)

Теперь мы видим, что каждая пара произведений равна 1. У нас есть три пары, и каждая из них дает результат 1. Таким образом, результат произведения всех этих функций будет равен:
\(
1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
\)

Ответ: 1.