ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 1.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равен синус угла, если его косинус равен: 1) 1; 2) 0?

1) Если косинус угла равен 1, то угол равен 0 радиан (или 0 градусов). В этом случае синус угла равен \( \sin(0) = 0 \).

2) Если косинус угла равен 0, то угол равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан (или 90 градусов). В этом случае синус угла равен \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Косинус угла равен 1, когда угол равен 0 радиан (или 0 градусов). Это можно объяснить с помощью единичного круга, который представляет собой окружность радиуса 1, центрированную в начале координат (0, 0). В тригонометрии косинус угла определяется как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. При угле 0 радиан точка на единичном круге находится в координатах (1, 0). Это означает, что длина прилежащего катета равна 1, а длина противолежащего катета равна 0. Поэтому мы можем записать:

\(
\cos(0) = \frac{\text{длина прилежащего катета}}{\text{длина гипотенузы}} = \frac{1}{1} = 1
\)

Синус угла определяется как отношение длины противолежащего катета к гипотенузе. В случае угла 0 радиан, так как противолежащий катет равен 0, мы имеем:

\(
\sin(0) = \frac{\text{длина противолежащего катета}}{\text{длина гипотенузы}} = \frac{0}{1} = 0
\)

Таким образом, для угла 0 радиан мы получаем \( \sin(0) = 0 \).

Теперь рассмотрим угол \( \frac{\pi}{2} \) радиан (или 90 градусов). В этом случае косинус угла равен 0. На единичном круге точка, соответствующая этому углу, находится в координатах (0, 1). Здесь длина прилежащего катета равна 0, а длина противолежащего катета равна 1. Поэтому мы можем записать:

\(
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{0}{1} = 0
\)

Синус угла в этом случае равен 1, так как противолежащий катет равен 1. Таким образом, мы имеем:

\(
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{1} = 1
\)

Эти значения синуса и косинуса являются основными и используются в различных областях математики и физики. Единичный круг позволяет визуализировать значения тригонометрических функций для различных углов. Каждое значение угла соответствует определенной точке на окружности, где координаты этой точки являются значениями косинуса и синуса.

Для любого угла \( \theta \) координаты точки на единичном круге можно выразить через косинус и синус следующим образом:

\(
(\cos(\theta), \sin(\theta))
\)

Таким образом, для угла 0 радиан точка будет \( (1, 0) \), а для угла \( \frac{\pi}{2} \) — \( (0, 1) \). Эти значения являются основой для понимания тригонометрических функций и их применения в различных задачах. Тригонометрические функции также используются для моделирования периодических процессов, таких как колебания и волны, что делает их важными в физике и инженерии.